正多面体が５種類しかないわけ

 正多面体とは何かをはっきりさせます。同じ正多角形のみでできている多面体と定義しましょう。
さらに、同じ点からは同じ数の面が出ている多面体とします。

【１】 まず、平面を正３・４・５・６角形で埋めると、図のように６角形までで ７角形以上は埋めることができない。

【２】 多面体をつくるには面が３つ以上必要。
　　　しかも、その３つの角の和は３６０度よりも小さくなければならない。

【３】 したがって、正六角形では３つの正六角形で平面。
　　　そこから１つ取ると面は２つになり多面体はできない。
　　　同様に７角形や８角形以上も作ることはできない。

【４】 ということは、３，４，５角形でしか正多面体をつくることができない。 ここからは実際に正多面体を作ってみよう。

【５】 最初に、正４角形でつくる。
　　　上の図のように正方形を１つとって３面にすると組み立てられる。
　　　では面は全部でいくつ必要だろうか。
　　　面の数をχとすると点の数は四角形だから４χ。
　　　一つの点に３つの面が重なるのだから３で割って４χ÷３個。
　　　辺の数は同じく４χだが、ひとつの辺には面が二つ重なるので ４χ÷２＝２χ個。

【６】 ここでオイラーの多面体定理を思い出そう。
　　　「点＋面−辺＝２」だから、上の個数を当てはめると 　　　４χ÷３＋χ−２χ＝２。
　　　これを解くと、χ＝６となって６面体ということがわかる。 　　　（この説明は実際に作ってみるほうがわかるかも）

【７】 次は３角形で多面体を作ってみよう。
　　　三角形をひとつ取ると、ひとつの点に５つの面が重なる多面体ができる。
　　　この多面体は何面あるのか方程式を作る。
　　　面の数をχとすると点は三角形だから３χ個だけれど、一つの点に５面が重なるので５で割って（３χ／５）個ある。
　　　また、辺は３χ÷２個だから、オイラーの定理に当てはめると（３χ／５）＋χ−（３χ／２）＝２となる。
　　　これを解くとχ＝２０となって、正２０面体ができる。

【８】 こんどは左の写真の右のように三角形を二つ取ると、一つの点に４つの面が重なる多面体ができる。
　　　方程式　３χ／４＋χ−３χ／２＝２　を解くと、χ＝８で、これが８面体。

【９】 さらに一点から三角形を３つ取ると、一つの点から３つの面が出てくる多面体ができる。
　　　方程式　３χ／３＋χ−３χ／２＝２　を解くと、χ＝４。　これが、正４面体。
　　　もうこれ以上はとることができない。
　　　したがって、３角形でできる正多面体は３種類。

【１０】最後に、正５角形を考える。
　　　右の図のように組み立てていくと、ひとつの点に３つの面が重なる。
　　　これもオイラーの定理に当てはめると、（５／３）χ＋χ−（５／２）χ＝２となり、χ＝１２となる。 　　　これで正１２面体ができる。

【１１】以上のように３種類の正多角形でしか作れず、三角形３種類＋四角形１種類＋五角形１種類で計５種類。
　　　だから、正多面体は５種類しかない。

【１２】オイラーの定理についてはまず平面でやってみて、次に立体で確かめてみてください。
　　　平面では「点＋面−辺＝１」で簡単に示せます。



　　　立体にするにはあと一つ面を加えるだけですから、「点＋面−辺＝２」が成り立ちます。
　　　式から１面と１辺が同時に消せます。１辺と1点も同時に消せます。そして最後に残るのは・・・