オイラーの多面体定理

オイラーの多面体定理の使い方

―　七角形の不思議　―

１．オイラーの多面体定理の読み方

S：ところで、疑問が一つあるんですが。
T：何ですか？
S：この前のページで、五角形と六角形と七角形でトーラス（ドーナッツ）を作ったときの式で、

　(５χ＋６ｙ＋７ｚ)／３＋(χ＋ｙ＋ｚ)－(５χ＋６ｙ＋７ｚ)／２＝０
　χ－ｚ＝０
　χ＝ｚ

となったけど、この式では七角形はいくつでもいいことになりませんか？
S：そうですよ。七角形が１コでもトーラスができるんでしょうか？
T：前のページで作ったドーナッツは、七角形を１０コ使ったけど、これをどれだけ減らせるのかやってみよう。
S：穴をできるだけ小さくしたらどうだろう？
S：七角形を６コ使うと、小さな穴ができるよ。
S：でも、それを広がらせて折り返そうとすると、さらに七角形が必要だよ。

S：なんだかリンゴみたいになったね。
S：最初は七角形を１８コ使っていたけど、減らして１６コ、さらに１０コ。
七角形：１８→１６→１０→
五角形：１８→１６→１０→
S：つまり、まだまだ少なくできる。
S：もしかしたら、六角形だけでトーラスができるんじゃないの？
T：六角形だけで円柱の筒ができるね。それを折り返して上と下をつないだらどうなるのだろう。
S：そうか。ぺしゃんこだけど確かに六角形だけでトーラスはできるね。（なんと、六角形だけで閉曲面ができるのです。）でも、これを膨らませるにはヒモがもっと必要になる。七角形を作ればヒモが増える。まず、七角形を４コにして作ってみよう。

T：上の黄色のリンゴは穴の中に七角形をつくったけど、今度は穴は六角形で作って、折り返すところに２コずつ七角形を作った。
・・・
S：できた！
S：ということは、七角形が１コ（五角形も１コ）でも（膨らんだ）トーラスはできるということですね。
T：つまり、このオイラーの公式は極めて正確にトーラスの状態を表わしているわけだ。このように多角形を折り返したり曲げたりしても変わらない図形の性質を調べることを「トポロジー」というんだ。
S：ヒモを線にしてトーラスの上に図形を描いていくと、六角形だけや七角形と五角形が描けるということですね。

S：ところで、七角形だけで編んでいくと、どんな形になるんだろう？
S：想像もできないよ。決まった形になるのかなぁ？
S：調べてみよう！

２．七角形のみでカゴメ折り

S：何だろう？　　この形は？

　　⇒【動画】　回転させます。

S：トーラスとも違うね。いくつも穴があるし、大きさも位置も異なっている。
S：不規則な形だね。
S：まるで、ガウディの建築みたい。

S：これって同じ形になるのかなぁ？
S：二つ作ってみたけど、次の七角形を作る方向によって形がちがってくる。
S：七角形の作る位置を同じにすれば同じ形になるけど、少しでも違うと別の形になる。

S：対称にはならないのかな？
S：どこか対称な点はないかと思ったけど、どこにもなかったよ。
S：一体何だろう？

３．オイラーの定理で考える

T：ここで、例によってオイラーの多面体定理に聞いてみよう。
S：困った時は、オイラーの定理！
T：最初に六角形と七角形のみで多面体を作ると考えてみよう。
そうすると、

(６χ＋７ｙ)／３＋(χ＋ｙ)－(６χ＋７ｙ)／２＝２
　１２χ＋１４ｙ＋６χ＋６ｙ－１８χ－２１ｙ＝１２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ＝－１２

S：七角形がマイナス１２個？
　これはどういうことですか？
S：七角形＝－五角形と考えたら、五角形が１２個だからつじつまはあうね。

T：では、七角形のみだと、どんな式になるのだろう？
S：穴がいっぱいあるから、種数を考えないといけないよ。
S：種数を０，１，２，３，・・・とすると、右辺の値Ａは、

Ａ＝２，０，－２，－４，・・・

　　　７χ／３＋χ－７χ／２＝Ａ
（１４χ＋６χ－２１χ）／６＝Ａ
　　　　　　　　　　　　　χ＝－６Ａ
つまり、
　種数＝　　０　　１　　２　　３　　４　　５・・・
　　Ａ＝　　２　　０　－２　－４　－６　－８・・・
七角形＝－１２　　０　１２　２４　３６　４８・・・

S：これはどういうこと？
S：ドーナッツは七角形だけでは作れないとういうことか。
S：七角形１２個で種数２のトーラスができるって言うこと？
S：さっき作ったものは七角形も無限、種数も無限ということかな。

４．種数２のトーラス

S：七角形を１２コで種数２のトーラスができるのかな。
S：七角形だけだとガウディの建築になってしまう。やっぱり六角形も入れなくては。
・・・
できた。穴を折り返す所にそれぞれ３コずつ、計１２コの七角形と六角形で、種数２のトーラスができた。

　(５ｘ＋６ｙ＋７ｚ)／３＋(ｘ＋ｙ＋ｚ)－(５ｘ＋６ｙ＋７ｚ)／２＝－２
　ｘ－ｚ＝－１２
　ｘ＝ｚ－１２

S：七角形が１２の時、五角形は０だ。
T：この定理はみごとですね。