１、九九の表でベンフォードの法則を調べる
ベンフォードの法則によると、最初の桁は１になる頻度が高い。 九九の表でも同じことが言えるのだろうか。×｜１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
１｜１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
２｜２ ４ ６ ８ １ １ １ １ １
３｜３ ６ ９ １ １ １ ２ ２ ２
４｜４ ８ １ １ ２ ２ ２ ３ ３
５｜５ １ １ ２ ２ ３ ３ ４ ４
６｜６ １ １ ２ ３ ３ ４ ４ ５
７｜７ １ ２ ２ ３ ４ ４ ５ ６
８｜８ １ ２ ３ ４ ４ ５ ６ ７
９｜９ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
これを見ると、１＝１８(２２％），２＝１５（１９％），３＝１１（１４％），４＝１２（１５％），５＝６（７％），６＝７（９％），７＝４（５パーセント），８＝５（６％），９＝３（４％）となっていて、やはり１が多い。そして、全体としてベンフォードの法則に近いようである。
こう見ると、数はベンフォードの法則が成り立つようにできているのかもしれない。
２、二つの数目盛
前ページ【１２５、０と１】でやったように、数の構造を表わす図は二つある。一つは数直線目盛、もう一つは対数目盛である。
数直線目盛は加法についての目盛、対数目盛は乗法についての目盛となっている。
また、【７９、ベンフォードの法則】では、自然数を集計しても最初の桁が１になる確率が多いことが示される。
1〜10000までの自然数で、最初の桁が１である割合と２である割合を調べると、次のグラフになる。
この図を見ると、相似形が浮かんでくる。
位が上がるたびに同じことがくりかえされているからだ。
そもそも、一桁目の数は１〜９までの数である。
だから、１の位にすると、ｘ×１０ｎ（１≦ｘ＜１０）と表わされるので、１０ｎで相似形になることはすぐにわかる。
つまり、１〜１０，１０〜１００．１００〜１０００，・・・と同じように数字が出てくる。
だから、これは対数目盛で表わせば同形になることに気がつく。
先のグラフを上のような対数目盛で作り直してみると、
見事に相似形になる。
そうすると、当然１〜１０に関しても相似形に縮小されているはずである。
そして、相似形だから割合も保存されている。
ちなみに、この曲線を積分すると１になる割合（確率）が求まる。
それは、２４．１３４８％であった。
３、１〜１０までの対数目盛
では、１〜１０までの間はどのようになっているのだろうか。対数目盛は指数の大きさで長さを表わしたものであるから、指数間隔を等しく取っている。
１〜１０までも同様にしてみると、
100 100.1 100.2 100.3 100.4 100.5 100.6 100.7 100.8 100.9 101
┷━━┷━━┷━━┷━━┷━━┷━━┷━━┷━━┷━━┷━━┷━
100.1＝1.258925…
100.2＝1.584893…（＝(100.1)2）
100.3＝1.995262…（＝(100.1)3）
100.4＝2.511886…
100.5＝3.162277…
100.6＝3.981071…
100.7＝5.011872…
100.8＝6.309573…
100.9＝7.943282…
となっている。
これを見ると、不思議なことに１．…をとる数の幅が大きくなっている。
これは、ｘ×１０ｎ（１≦ｘ＜１０）のｘの分布を示しているはずである。
それをもっと詳しく見ると（自然数で目盛ると）、次の目盛になる。
これを見ると、２０，３０，４０，…の分布も全く同じようになっている。
これは、１の出る割合は、位が変わっても変わらないことを示している。
そうすると、１の出る割合はこの目盛の１０に対する１の幅と同じになる。
数直線目盛では、横にずらしても１になる割合は変わらない。
これは加法に関して（ｎを加えても）１の割合が不変であることを示している。
４、ｎ倍した時に分布はどうなるのか？
では、最初の九九の場合はどうなっているのだろうか。九九の表を１０(指数)で表わしてみると、かけ算は指数の足し算になる。
(×) | 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(＋) | 0 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954（指数）
1 0 | 0 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954
2 0.301| 0.301 0.602 0.778 0.903 1 1.079 1.146 1.204 1.255
3 0.477| 0.477 0.778 0.954 1.079 1.176 1.255 1.322 1.380 1.431
4 0.602| 0.602 0.903 1.079 1.204 1.301 1.380 1.447 1.505 1.556
5 0.699| 0.699 1 1.176 1.301 1.398 1.477 1.544 1.602 1.653
6 0.778| 0.778 1.079 1.255 1.380 1.477 1.556 1.623 1.681 1.732
7 0.845| 0.845 1.146 1.322 1.447 1.544 1.623 1.690 1.748 1.799
8 0.903| 0.903 1.204 1.380 1.505 1.602 1.681 1.748 1.806 1.857
9 0.954| 0.954 1.255 1.431 1.556 1.653 1.732 1.799 1.857 1.908
（指数）
この場合、整数部は桁数、少数部が最初の数を表わしているので、小数部だけに注目すればよい。
指数の小数部0〜0.301が１にあたるが、これが多くなるのは当然である。
指数の加法は０〜１までの指数で均等（一様）になるはず。
指数について分布が均等（一様）になっているとすれば、１の出る割合はlog10２＝０．３０１０３となる。
九九表がベンフォードの法則に近い理由がわかる。
これを積分で求めてみると、
１＝２４．１３４８
２＝１８．３２
３＝１４．５５
４＝１１．７４
５＝ ９．５０
６＝ ７．６４
７＝ ６．０５
８＝ ４．６５
９＝ ３．４２ であった。
九九表の１の割合が２４％であるのは、１，２，３・・・を指数で表わすと、すでに偏っているからである。
さらに、対数目盛で乗法のしくみを調べてみると、
（この二つは同じ目盛で、１〜１０までの目盛は２３４５６７８９を示している。）
下の１００＝１を上の２にあわせるようにずらしたもので、下の数の２倍はそのすぐ上の数になっている。
５≦ｘ＜１０の数は１＊になることが一目でわかる。
これは、２倍しても、１になる数の幅が変わらない事を示している。
（水色の部分は１になる部分で幅は変わらない。）
同様に、３倍は、
となり、やはり１００＝１を上の３に合わすようにずらしただけで、３倍しても１になる幅は変わらない。
つまり、乗法に関しては横へずらすだけなので、ｋ倍しても１の割合が変わらないことを示している。
５、指数関数はベンフォードの法則が成り立つ
ということは、指数が一様ならばベンフォードの法則が成り立つ。つまり、指数関数 ｙ＝ａｘ はすべて指数が一様であり、ベンフォードの法則が成り立つ。
例えば、フィボナッチ数列は指数関数で表わされるので、ベンフォードの法則が成り立つ。
では、ベキ関数はどうだろうか？
まず、ｙ＝ｘ２を調べてみよう。
ｎの出る割合は、（１０（１／２・log（ｎ＋１））−１０（１／２・logｎ））／（１０（１／２・log１０）−１０（１／２・log１））
となり、ｙ＝ｘａでは、
（１０（１／ａ・log（ｎ＋１））−１０（１／ａ・logｎ））／（１０（１／ａ・log１０）−１０（１／ａ・log１））
となる。
ということは、ベキ関数に関しては、上の公式で求めた割合になり、ベンフォードの法則は成り立たない。
つまり、指数関数については、１の出る割合はlog10２＝０．３０１０３となり、
ベキ関数について１の出る割合は、ｘについて一様だと仮定すると、
ａ＝２ならば、１９％
ａ＝３ならば、２３％
ａ＝−１ならば、５５．５％
ａ＝１ならば、１１．１％
ところで、１の出る確率は０．２４１３４８であった。
２で求めたように、乗法で１が出る確率は２４．１３４８％である。
この一致は、実数をかけあわせてできる数の世界での１の出る確率は、２４．１３４８％ということを示している。
６、縮尺不変性について
普段見慣れている数直線目盛は、加法に関しては自然なのだが、乗法に関しては０に近い所がわかりにくい。乗法に関しては対数目盛の方が自然で、数の位を自然に表わしている。
この二つの目盛はともに実数を示す目盛であり、
加法をする場合は数直線目盛が、乗法をする場合は対数目盛がわかりやすい。
そして、この対数目盛はベンフォードの法則を示しており、
数（の集合）をｋ倍しても、最初の桁が１の割合は変わらないことを示している。
（ベキ関数の割合も）
「縮尺不変性」はもともと数の持っている（乗法の）性質なのだ。
このことは、対数目盛を調べている中で、少しずつ明らかになってきた。