三角形幾何学
三角形を探るアイテム・・・三角形の豊かな世界
１、「三角形幾何学」って？
T：三角形って一番簡単な図形なのに、実に奥が深い図形なんです。
S：ところで三角形って何ですか？
T：三角形は普通は左のような形を言います。でも、ここでは右のような形を三角形とします。
S：右は辺を延長しただけですね。この二つの三角形の違いはどこにあるの？
T：ほとんど同じだけど、少しだけ違います。例えば、図の下のナビゲーションを進めていってください。
S：これは角の二等分線ですね。そうか二本あって、直角になっている。角の二等分線は一点で交わり、内心と傍心となる。
S：なるほど、左は内心しか考えられないけど、辺を延長すると傍心もあるということがわかるな。
S：内心と傍心は角の二等分線が作る同じ現象ということか。
T：このように延長した辺で考えると、様々な現象を統一してとらえることができます。
S：３つの傍心から新しい三角形ができますね。 ⇒【傍心三角形】
S：「三角形幾何学」って何を研究するのですか？
T：対象は三角形の示す様々な現象。効果は数学に関する思考方法をほとんど含んでいること。
S：例えば？
T：「拡張すること」とか、
「一般化すること」とか、
「逆を考えること」とか。
それに何よりも不思議な現象が実際に目に見える。
S：面白いから不思議だと感じる。そうすると「なぜ」と不思議に思うよね。
S：でも、三角形については一番簡単な図形だからほとんど調べ作られているんじゃないの？
T：いや、まだわからないことがたくさんあるよ。それに知られていない現象もたくさんある。だから君も現象を発見することができる。
S：本当に発見できるのかな。
T：実は「発見のコツ」があるのです。それは「見通し」を持つこと。この「見通し」によって仮説を持つことができるからです。
S：どんな「見通し」なの？
T：三角形からできる三角形と円の関係の構造（しくみ）のことです。３つにまとめられます。
(1)三角形からできる特別の三角形 ⇒ 三角形の心の分類と発見・三角形の直角双曲線
(2)三角形と円 ⇒ 九点円→三角形共役点→内接円から内接楕円
(3)三角形の極と極線 ⇒ 内接円錐曲線・心とオイラー線・ソディ線・ナーゲル線
(4)三角形の直極点 ⇒ （ ？ ）シンプソン線・清宮線・デルトイドなど
S：４つですよ。
T：最後のはあまりわからないのですが一応あげておきました。
T：さて、これから三角形を探っていきましょう。三角形には同じような構造があります。
基本的な構造をモデルとして現象を探っていくと、一見異なるものの間に同じ構造があるととらえることができます。
２、三角形からできる特別の三角形
T：最初に【三角形からできる特別の三角形】を見てください。
S：三角形からできる三角形には必ず拡大する方向と縮小する方向がある。
@中点三角形←→逆中点三角形 （長さ）
A接点三角形←→接線三角形 （内接円の）
B垂足三角形←→傍心三角形 （角度）・・・これが意外でした。
Cチェバ三角形←→逆チェバ三角形 （楕円の）
S：これらはみな同じ「三角形からできる三角形」の構造ということですね。
S：CはAの円を楕円に拡張している。
S：こういう「拡大・縮小」は他にもあるのですか？
T：もちろんあります。例えば、下図の三角形の三円交点。
S：直線でなくてもいいんだ。３円が一点で交わるなんて不思議だな。
S：内三角形が縮小で、外三角形が拡大ですね。確かに逆になっている。
⇒【２８０、GeoGebra 三角形に内接・外接する三角形の作図】【２９３、三円相似と発見の道筋】
T：二つの異なって見えるものが、実は同じ現象の裏表ということが見えてくるとすっきりします。
次にそれぞれの三角形の心を調べると、面白いことが見えてきます。
例えば、中点三角形の重心は変わりません。
S：逆中点三角形も変わりませんね。では外心は？
S：逆中点三角形の外心は元の三角形の垂心だ。
S：中点三角形の外心は、当たり前だけど九点円の中心だ。
S：もしかしたら、どこまで拡大・縮小しても外心はオイラー線上にあるのではないかな。
T：さっそく発見ができましたね。
S：ところで三角形の心ってどれだけあるの？
T：三角形の心は２０２１年現在４２０００個発見されている。 ⇒【Encyclopedia of Triangle Centers】
S：５心（内心・外心・重心・垂心・傍心）だけでなくまだあるの？
T：ジオジェブラにはそれらの心を求めるコマンドがあるんですよ。求められる心は３０５３個だけど、これでも並べてみるとすごい。
下図の（▼）をクリックして心の分布を調べてみましょう。
S：どうしてこんなにあるんだろう？
S：この三角形の心の宇宙を見るとめまいがしてくる。
S：同じ直線上に並んでいるのもあるよ。オイラー線はわかるけどこれはどういう線だろう？
S：ところで三角形の心ってどうやって見つけるの？ ⇒【三角形の心の発見と分類】
T：いい質問ですね。それがさっきの「特別の三角形」なんですよ。例えば、中点三角形と頂点を結ぶと？
S：一点で交わる。重心だ。
T：三つの線（「頂点を通るチェバ線」と「垂線」と「頂点を通る円」）が一点で交わるとそれが心です。
S：直線でなくても円でもいいんだ。さっきやったね。
S：簡単そうだけど新しい心の発見の例を出して。
T：例えば「刈屋の三角形」。内接円の接点が作る三角形と頂点を結ぶとジェルゴンヌ点で交わる。これを拡張することはできないかと考えたのが刈屋さん。
内接円の半径は同じだから、接点と内心の中点で接点三角形の半分の三角形を作るとどうなるのか調べてみた。（Ｋを動かしてみましょう）
S：元の三角形の頂点と結ぶと一点で交わっている。
S：長さが同じ三角形なら一点で交わるんだ。
⇒【キーペルト点と刈屋点】
S：確かにこれをは接点三角形を拡張している。
T：次に「キーペルト三角形」。これは中点三角形の拡張で、フェルマー三角形（フェルマー点やナポレオン点）から類推された。
S：辺の作る三角形が相似な二等辺三角形だったら、新しい三角形と元の頂点を結んだ線は一点で交わるんですね。
S：新しい三角形さえ見つかれば、新しい心が見つかるということか。
S：ということは、三角形の心って無限にあるということ？
T：そうなりますね。
T：さらにこの心（刈屋点とキーペルト点）の軌跡を調べてみるととても面白いことが見えてきます。
S：三角形の３頂点と垂心を通り他の一つの心を通る双曲線になりますね。
T：垂心を通る双曲線は直角双曲線となります。
S：どうして垂心を通ると直角になるの？ ⇒【直角双曲線について】
T：刈屋点の軌跡をフォイエルバッハ双曲線といいます。
S：垂心と内心を通りますね。距離が無限だと垂心ですね。
S：キーペルト双曲線の方は垂心と重心を通りますね。二等辺三角形が正三角形の時はフェルマー点を通る。
S：垂心と外心を通る双曲線はあるのですか？
T：あります。ジェラベク双曲線といいますが、この三角形の作図はちょっと複雑です。
⇒【三角形双曲線】
S：この直角双曲線も面白そうですね。
３、三角形共役点
S：三角形の心を見ると、ペアになっているものがあるね。
S：垂心と外心とか。
T：これも三角形から統一して考えることができるんですよ。垂心からできる垂足三角形と外心からできる中点三角形は同一円周上にあります。この円が九点円です。
T：ここには三角形と円との深いつながりがあります。 ⇒【等角共役点】
S：外心と垂心は角の二等分線からの角度が等しい兄弟みたいなものですね。それを「等角共役点」というのか。他にもあるんですか？
T：重心の等角共役点は類似重心。
S：外心も垂心も垂線で作図できますね。 ⇒【垂足円―九点円の拡張】
ということは等角共役点は垂足円から作図することができる。
S：Ｄから垂線を引いてできる三角形の外接円が交わる点から垂線を引けばそれが等角共役点Ｎだ。
T：それから等角共役点を使うと、内接楕円が簡単に作図できます。 ⇒【内接楕円と傍接楕円】
T：傍接楕円が傍接円の拡張だとすると、傍接円に接する九点円も拡張されるはず。では、九点円はどんな楕円になるのか？
S：円を楕円に拡張するんですね。
［問題］三角形の傍接楕円を作図したとき、円の九点円に対応する楕円の作図はできるのか？
T：そういう楕円が存在するかどうかも問題。
S：作図をしてみるとありそうですよ。
S：共役点ってほかにもあるのですか？ ⇒【三角形の共役点】
T：等角は垂線だったけど、頂点と結んだ線も考えられるよ。
S：三角形の中に点を取って頂点と結ぶ（これをチェバ線といいます）。
辺との３交点で三角形（チェバ三角形）を作り外接円を作図。等角と同様にもう一つの交点と頂点を結んだチェバ線を引くと、一点で交わる。
T：これを「チェバ円共役点」といいます。
S：これはどんな性質を持っているの？
T：例えば重心と外心の関係と同じような二つの点を調べてみます。すると次の関係が見えてきます。
「等角共役点の一方が外心点ならば、もう一つの共役点も外心点である」
⇒【三角形のチェバ円共役点】
S：相互のつながりを考えていくと、次から次へと不思議な現象が見つかってくる。
S：共役点はまだあるよね。
T：今度はチェバ線を使うんだけど、角度ではなく中点からの距離を等しくする。これを「等距離共役点」といいます。
S：等角共役点は垂足円、チェバ円共役点はチェバ円。では等距離共役点は楕円なの？
S：５点が決まればあとの１点は楕円上にあるということですね。
S：確かに辺と楕円の交点が等距離になっている。なぜだろう？
S：これもあるんじゃない。［問題］等角共役点が垂足円で求められるように等距離共役点を求める方法があるか？
S：あるような気がするな。
S：等角共役点と垂足円に対応する等距離共役点と（ ？ ）を見つければいいのか。
S：ところで３直線でなく３円で一点を作図する方法があったでしょう。あれも外接円から共役点を作ることができるんじゃないですか？
T：素晴らしい発想です。確かめてみましょう。 ⇒【三円共役点】
S：新しい共役点が見つかると思ったけど、等角共役点だったのか。
S：三つの直角双曲線、三種類の線（角の二等分線・辺の垂直二等分線・頂点を通る円）、三つの共役点・・・三角形だから３つなんかなあ。
⇒【三角形の直角双曲線の対称性】
４、三角形の極線
T：円の極線というのがあります。これはある点を極として接線を引き、その接点を結んだ線のことです。 ⇒【円の極と極線】
これは楕円にも拡張できますが、なんと三角形にも拡張することができるのです。
T：この極と極線を円を消して三角形の極と極線とします。
S：円の場合は、極はジェルゴンヌ点だけですよね。
S：三角形で極を自由にとると、円ではなく楕円になるのか。 ⇒【２６９、三角形の極と極線と内接円錐曲線】
S：さっき等角共役点を使って内接楕円が作図できましたね。それとは違うんですか？
T：今度はチェバ線と極線で作るので違います。
S：ここにもいろいろな現象があって面白そうですね。
S：極を心に当てはめると、心の極線が作図できて心相互の関係が探れますね。
S：例えば極線がオイラー線になる心ってあるのですか？
T：あるんですよ。X６４８です。
S：どうやって見つけたんですか？ ⇒【オイラー線の極を探す】
T：ＧｅｏＧｅｂｒａを使って一つずつ当てはめてみたのです。
T：この三角形極線上の点を極とする三角形極線はどうなるのか調べてみたことがあります。
S：元の極を通る直線になると思います。
T：ところが実際に作図してみると極を通る直線にはならいのです。例えば、上のオイラー線上の点を極とする三角形極線は、内接する放物線に接しているのです。
S：楕円だけではないのですね。
T：このX６４８で内接楕円を作ろうとすると、何と放物線になってしまうのです。
「三角形極線の極線は極が作る内接円錐極線に接する」のはなぜか？
⇒【３０６、三角形極線の極線】
T：円錐曲線のうちの放物線についてはいろいろ面白い性質があります。
放物線に外接する三角形の性質について ⇒【３０２、GeoGebra 放物線の基本定理 】
これは長いことわからなかったけど最近証明できました。
そのほかにも「オイラー線と垂心の極線は直交する」とかいろいろな現象が見つかります。
S：不思議な関係がいっぱいありますね。
⇒【三角形の中心を極とする極線】
５、直極点とデルトイド
T：これがあまりわからないのです。
S：今までと違うような気がしますね。
直極点の定義
△ABCの頂点から１直線ｌに垂線を下し、その足から対辺にまた垂線を下せば、それらの３直線は一点に会する。
この点を、ｌの直極点という。（Ｎｅｕｂｅｒｇ）幾何学大辞典１より
⇒【直極点】
これは二つの操作から成り立っています。
(1)３頂点からある直線に垂線を引く（３点を求める）
(2)ある点から３辺に垂線を引く（一点に会する）
では逆に点を決めてから直線を引くことは可能でしょうか？
S：ちゃんと求まるような気がするけど・・・直角にするためには微妙な調整が必要だね。
S：点が決まれば直線が決まるということですね。これって極から三角形極線が求められるのと似ているね。
T：そこで次の課題が出てくる。
［問題］ある点を三角形の直極点とするときの直線の作図は可能か？
S：直線があれば直極点が求まるわけだから、いろいろな直線の直極点を求めてみると面白いことが見つかるかも。
S：オイラー線の直極点とか、シンプソン線の直極点とか・・・。
⇒【直極点とデルトイド】
［問題］デルトイドが九点円になるのはなぜか？
T：シムソン線の包絡線をデルトイドといいます。
S：自由な点の直極点の軌跡が楕円になり、その楕円はデルトイドに接している。
T：そうすると、デルトイドのことが知りたくなります。
アメリカのサイトを見ていたら、外接円の接線の作る直極点の軌跡が、デルトイドになることを知りました。
では、外接円の半径を変えるとデルトイドはどう変化するのでしょうか。
S：何とデルトイドが９点円に変化する！
S：不思議だ！デルトイドと９点円の関係はなんだろう？
⇒【シムソン線と直極点とデルトイド】
６、三角形に関する問題
この問題がわかりません。そして次から次へとわからないことが出てきます。
三角形には謎がいっぱいなんです。
（Ｑ１）三角形の傍接楕円を作図したとき、円の九点円に対応する楕円の作図はできるのか？
（Ｑ２）等角共役点が垂足円で求められるように等距離共役点を求める方法があるか？
（Ｑ３）三角形の直角双曲線は３種類か？
（Ｑ４）三角形の共役点はまだあるのか？
（Ｑ５）極線が直交する心の間にはどんな関係があるのか？
（Ｑ６）シムソン線やシュタイナー線、清宮線の意味は？
（Ｑ７）直極点から直線を作図するには？
（Ｑ８）デルトイドと９点円の関係は？
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