シムソン線と直極点とデルトイド
豊かな三角形の世界
１．垂足円からシムソン線へ
T：数年前から三角形のデルトイドというのが気になって調べている。最初は皆目わからなかったけど、最近すっきりしたのでまとめてみようと思う。
S：三角形と円の関係は面白かったけどまだあるの？
T：三角形に関する現象は無限に広がっているんだ。しかも中学生レベルでも十分調べることができる。
S：ほんとうかなぁ。
T：例えば三角形に垂足円という円を考える。垂足円とはある点から三角形の各辺に垂線を引き、その３つの足からできる円のこと。
この図の下のナビゲーションを進めてみると、作図の仕方がわかってくるよ。
S：Ｏは外心か。この点Ｄは中心ではないんだね。もう一つ心があるね。⇒【九点円から垂足円へ】
T：実はＤとＫは等角共役点でペア。このＤを動かしてみよう。例えば、Ｄを外心Ｏと重ねると九点円となる。
S：もう一つの点Ｋは・・・垂心だ。外心と垂心は等角共役点なんだ。
T：さらに、Ｄを△ＡＢＣの外接円周上に持ってくると・・・
S：あれ円が直線になった。
T：そうなんだ。半径が無限大の円、つまり直線となる。この線をシムソン線という。
実際に外接円上にＤを置いて作図してみよう。
S：これ本当に直線になるの？
T：中学生でも証明できるよ。
直線になるということは、FEとEGを結んで∠AEF＝∠CEGということを示せばいい。
S：そうか。AECは直線だからだね。これは円周角の定理を使えば言えそう。
S：△ＡＤＦ∽△ＤＣＧだから、∠ＡＤＦ＝∠ＣＤＧ。円周角の定理で∠AEF＝∠CEGがわかる。簡単だね。
S：∠Aと∠DCGはどうして等しいの？
S：ADCBは円に内接する四角形だよ。
T：簡単だろ。これからもこうやって証明していけばわかってくるよ。
２．シムソン線（ウォーレス線）の包絡線
S：ところでこのシムソン線って三角形の何にあたるのだろう？
外接円の上でないと直線にならないんだよね。だったら外接円のＤを動かして一周させたらどうなるのだろう。
T：素晴らしいアイディアだね。やってみよう。左下の▲をクリックすると動き出すよ。
S：何か三角形のような形が表れてきたよ。
S：一本の線が集まって形を作っている。
T：このように一本の線が作り出した曲線を「包絡線」という。そしてこの形をデルトイドというんだ。
S：元の三角形はこの形(デルトイド）に接している。
T：これを調べてみよう。
S：この曲線を直接描くにはどうしたらいいの？
T：そうだね。実はそれをやりたいんだけど、とりあえずイメージをつかむために、わかっているとして描いてみよう。
詳しくは⇒【三角形のシムソン線の包絡線を求める計算】
S：最初に外接円の大きさを半径１としたんですね。
S：外接円の大きさが変わらなければ、三角形の形を変えてもデルトイドの形や大きさは変わらないね。
S：九点円の大きさも変わらない。なぜだろう？
S：シムソン線はデルトイドに常に接している。
T：包絡線だからね。この包絡線について大事なことが一つある。
この包絡線デルトイドはシムソン線が変化してできている。そこでもう一点Ｌを取ってシムソン線を作図する。そして、このＬをＤにだんだん近づけると・・・
S：二本のシムソン線の交点がＶに近づいていく。
T：ということは、この点Ｖの軌跡がデルトイドになるんだ。
S：じゃあ、このＶがどういう点かわかればいいんだね。
T：そうなんだ。でも、そのためには新たな作図法が必要となる。
・・・
S：ところで点から直線（シムソン線）が生まれたけど、その逆（直線から点）もあるんだろうか？
T：これも素晴らしいアイディアだね。ここで直線から点を生み出すことを考えてみよう。
３．シムソン線と直極点
T：その点を「三角形の直極点」という。これまで辺への垂線を考えてきたね。
今度は直線を別に作って、各頂点から垂線を引いてみる。
すると、３つの点ができて、この点からそれぞれの対辺に垂線を引く。この３本の垂線が一点で交わるんだ。
S：これが三角形の直極点なんだね。
S：これは必ず一点で交わるの？
T：その証明は⇒【直極点】で。
S：ピタゴラスの定理を使うんだね。
T：さて、結論を先に言うと、さっきの交点ＶはＤの接線の直極点なんだ。作図して確かめてみよう。
S：シムソン線と直極点の関係を示しているんだね。
S：Ｄを通る直線はピンクの点で変化できるんだね。動かすと直極点Ｐも動くよ。
S：ＰはＤのシムソン線上にあるような気がする。
S：それにこの補助円を描いてみるとＰは円周上にもある。ということは５つの点が同一円周上にあることを示せれば良いんだ。
S：この補助円が同一円周上にあることを示すには・・・？
T：そうだね。このことを証明すればいいんだね。でも、このままでは複雑過ぎて混乱してしまう。
S：もっと図をシンプルにしてみよう。外接円と二本の直線から考えてみよう。
S：まず、円との交点から互いの線に垂線を引く。
S：二組の平行線が見える。円も見えるよ。
T：ＡＢＥＦが同一円周上にあれば、ＧＪＨＩも同一円周上にある。
このナビゲーションをクリックしてみて。以下順番に証明していくよ。
(1)まず、ＧＪＩＨが同一円周上にあることを示す．
S：これは内接四角形の定理を使えば簡単。
(2)Ｃを円周上に取って、直線ＥＦの直極点Ｍを求める．
S：Ｃを動かしてもＭは円ＧＪＩＨ上にあるね。
(3)このＭが円ＧＪＨＩ上にあることを示す．
S：これは円周角の定理の逆で示せる。平行線がポイントだね。
(4)次にこのＭがＥのシムソン線上にあることを示す．
S：これも上と同じだね。
(5)Ｆについても同様なことが言えるので、ＭはＥとＦのシムソン線上にある．
S：つまり、
(6)直線ＥＦの直極点は円ＧＪＩＨ上にあり、ＥとＦのシムソン線の交点である．
(7)ＦをＥに限りなく近づけるとＥＦはＥの接線となり、ＥとＦのシムソン線の交点はＥの接線の直極点と一致する．
(8)Ｅを通る直線の直極点の軌跡はシムソン線を描く．
S：これは付け足しだね。
(9)シムソン線の包絡線とデルトイドの接線は外接円の接線の直極点（＝シムソン線の交点）で接する.
S：これがわかりにくかった。
T：これは包絡線の求め方から出てくることで、包絡線は直線の交点からわかるんだ。
(10)したがって、外接円の接線の直極点はデルトイドを描く．
S：複雑そうに見えるけど、この図は単純だね。
S：ＦをＥに近づけていけば直極点とデルトイドがイメージできるね。
S：まとめるよ。
Ｅのシムソン線上にＥＦの直極点がある.
Ｆのシムソン線上にＥＦの直極点がある.
したがってＥのシムソン線とＦのシムソン線の交点がＥＦの直極点である.
シムソン線の包絡線は交点によって表される.
だから、ＦをＥに近づけた時ＥＦはＥの接線となり、この接線の直極点は包絡線デルトイドを描く.
ちょっとくどいかな。
４．デルトイドのメタモルフォーゼ
T：というわけで、直極点を使えばデルトイドが作図できる。⇒（Locusコマンドを使う）
S：外接円が重要ですね。
S：外接円の接線の直極点がデルトイドを描くんだ。
S：だからデルトイドの大きさは外接円の大きさで決まるんだ。
S：デルトイドに接している九点円も大きさに関係している。
T：ではこの外接円の半径をだんだん小さくしてみよう。どうなると思う？
S：Ｏを中心にした円の半径ｇを外接円からだんだん小さくするんだね。
S：デルトイドはどうなるんだろうか？
S：すごい！ デルトイドが九点円になった。
５．あとがき
このページは、４年前にデルトイドの探求から始めたもので、とにかく作図をいろいろしていたら、
不思議な現象が見つかってきた。
でも、その理由がなぜなのかわからない。証明の糸口さえつかめなかった。
最近たまたま包絡線を微分を使って求める方法を知った。
これをシムソン線の包絡線に当てはめてみようと始めたら、交点までは計算できたけど、計算が複雑すぎてデルトイドの式を求めることはできなかった。
そこで初等的に解こうと方向転換をして、一か月以上かかってようやく単純な図を見つけることができた。
それが最後から二番目の図。証明をすることよりも、この図を見つけるのが最大の難関だった。
これで「三角形幾何学」は一段落。でも楽しかった。これからどんな出会いが待っているのだろうか。
目次へもどる