包絡線の方程式の求め方
垂直二等分線の包絡線を求める
１、垂直二等分線の包絡線
T：この図はＯＢの垂直二等分線（赤い線）を作図したもの。点Ｂを左横に動かしてみよう。
S：あれ、赤い線が放物線を描くような気がする。
S：じゃあ縦に動かしたらどうなるんだろう？
今度は横の放物線だ。他の曲線にはなるんだろうか？
T：今度は大きな円を描いてごらん。
S：この赤線を消すにはどうしたらいいの？
T：拡大するか縮小すれば消えるよ。
S：消えた。・・・これ楕円？
S：もしかしたら双曲線にもできるんじゃないかな？
T：この図の下のナビゲーターを先に進めてみて。まず７まで。
S：水色の点Ｃが出てきた。これを動かすと・・・。
確かに放物線になる。これどこかでやったような気がする。
T：放物線の作図のところで、辺を中心に重なるように順番に折って放物線を作ったよ。⇒【放物線の折り方】
S：思い出した。この中心が焦点だ。
T：じゃあナビを先へ進めて最後まで。
S：円が出てきたよ。この円に沿って動かすと・・・確かにきれいな楕円ができる。
S：中心を上に持っていくと、中心から外れる。・・・今度は双曲線になる。
S；これ本当に放物線になるの？
２、直線上を動く点の包絡線を求める
T：それをやってみよう。
T：まずＡＯの方程式は？
S：傾きと切片からすぐにわかる。ｙ＝１/αｘ。
T：次に垂直二等分線の方程式は？
S：垂直ということは「傾き」をかけると－１になるのだから、ｙ＝－αｘ＋ｂ、切片は中点を代入すれば求まる。
ｙ＝－αｘ＋0.5α2＋0.5・・・①
T：さて問題はこの①の包絡線をどう求めたらいいのかということだ。
変化する定数αを含むということは？
S：点Ａを変化させると、方程式ｆ(ｘ,ｙ,α)＝０は、一群の曲線を表す。これは変数が３つあるよ。
T：そこで一つ消さなければならない。αを詳しく見てみよう。
今、αが微小に変化してα＋⊿αになったとすれば、その時曲線はｆ(ｘ,ｙ,α＋⊿α)＝０となるから
この二つの曲線の交点Ｐ(χ,y)に対しては、ｆ(ｘ,ｙ,α＋⊿α)－ｆ(ｘ,ｙ,α)＝０が成り立つ。
つまり、（ｆ(ｘ,ｙ,α＋⊿α)－ｆ(ｘ,ｙ,α)）／⊿α＝０となる点が存在するのだから、
平均値の定理により、⊿α→０ならしめれば
ｆ(ｘ,ｙ,α)＝①をαで微分した値は０となる。
S：いまいちイメージがつかめない。
T：じゃあ、この図の下のナビゲーションを先に進めてみて。
S：もうひとつ点Ｅが出てきた。交点はＦだ。
T：このＥをＡに近づける（⊿αを０に近づける）と交点Ｆはどうなる？
S：χ＝αに近づいている。αで微分するということはそういうことか。
S：よし、①をαで微分してみよう。
０＝－ｘ＋α・・・②
ちゃんとχ＝αと出た。次はこれを①に代入すると、この交点の軌跡の式が出るということか。
ｙ＝－0.5χ2＋0.5となる。これが包絡線か。
S：確かに放物線だ。でも、どうして包絡線が求まるのかまだピンとこない。
T：②は交点の位置を示すαの値でしょう。①と②からαを消去すると、①の曲線群の交点Ｐの軌跡を表しているよ。つまり①の曲線群の包絡線。
図の「包絡線の方程式」と「接点を求める」をクリックするとＰが見えるよ。
S：これらの曲線群（垂直二等分線）は包絡線の接線ということか。
３、円の上を動く垂直二等分線の包絡線は？
S：円の場合も同じなのかな？ やってみよう。半径１の円を作って・・・
S：まず垂直二等分線の式を出すと・・・ｙ＝…（図）
S：包絡線の接線はこの垂直二等分線なのだから、その接点はどこにあるんだろう？
S：微分するとθが求まり、交点＝接点がわかるはずだけど、θは消えていない。でも、①の式が出てきたよ。
S：そうか。①はy=tanθx+a。つまり中心とＣを結んだ線だから、①と垂直二等分線の交点が接点ということか。
T：さっきと同様に円周上にもう一つ点を取って垂直二等分線を引き、前の垂直二等分線との交点をとる。
そして円周上の点をＣに近づけるとこの交点はどこへいく？
S：作図してみよう・・・。ちゃんとＰに重なる。
S：試しにＰＢを結んでみると・・・。半径と同じだから楕円の焦点からの距離の和は一定なんだな。
S：それにしても微分って威力があるなぁ。
T：この式から楕円の式を求めることができる。ぼくは何遍計算しても計算間違いばかり。でもできたときはうれしかったよ。
S：その結果をＧｅｏＧｅｂｒａに入れて確かめれば、計算が正しいかどうかわかるね。
⇒【いろいろな包絡線・GeoGebra】
参考文献「微分幾何学入門」岩田至康著
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