オイラー線の極を探す

― 三角形の心の極線を描くと・・・ ―

1、オイラー線

S:垂心と外心と9点円の中心は一直線上に並んでいる。
S:重心も同じ線上にある。不思議だな。でも、内心だけ仲間外れだ。
T:点が一直線上に並ぶなんてことはなかなかないことだけど、この4点は一直線上に並ぶ。 この線をオイラー線という。
S:9点円の中心は垂心と外心のちょうど真ん中だ。



S:それに[外心と重心の距離]:[重心と垂心の距離]=1:2じゃないかな。
T:えっ、そうなの?本当?
S:この図を見ると相似だから、重心が1:2に内分しているから当然ですよ。
S:ところで、内心だけ仲間外れだ。内心の仲間はいないの?
T:捜してみましょう。まず、9点円をクリックして、次に内接円をクリック。
 するとこの二つの円は一点で接している。その点をフォイエルバッハ点という。
 この点と内心を結んでみよう。
S:内心と9点円の中心とフォイエルバッハ点が一直線に並んでいる。
T:さらに、傍接円も描いてみよう。傍接円と9点円も一点で交わる。
 この交点と頂点を結ぶとやはり一点で交わる。
S:これも内心の仲間だ。内心は一人ぼっちじゃない。
T:というようにいろんな三角形の心が見つかる。
S:三角形の心って他にもあるの?
T:2015年現在7500以上の心が見つかっているよ。
S:私も発見できるかな。
       ⇒【オイラー線をもっと調べたい人の為に】
       ⇒【三角形の心についてもっと知りたい人の為に】

2、三角形の心を極にしてみると

T:三角形の極線の描き方がわかると、すぐに思いつくのが・・・
S:極を三角形の心にしてみること。例えば外心の極線はどうなるんだろう?
T:興味が出てきますね。
S:でも、いちいち心から極線を作図するのは大変だよ。
S:そういう時には、sequence関数を使うんだ。最初にスライダーで変数を決めておいてn1=1の心を作図して、この点で極線を作図すると・・・
ついでに、三角形の心も沢山出すようにしよう。



S:このスライダーを一個ずつ動かすにはどうしたら良いの?
T:スライダーをクリックして、後は矢印キーを押せば一個ずつ動きます。
S:n1=1って内心でしょう。2は重心だけど極線はどこへ行ったんだろう。
S:重心が極の時は中点だから極線は引けない。
S:n1=4は垂心でしょう。垂心の極線はオイラー線と垂直になっていない?
S:確かめてみよう。角度アイコンを選んで直線と直線をクリックすると・・・直角だ。
S:不思議だ。どうしてだろう。
S:ついでに心をもっと増やしてみよう。
S:極線の上に心が並んでいる。2千個以上にすると直線上に沢山並んでいる所があるよ。
S:内心の極線上には多くの心が並んでいる。n1=92や110を見て。

2、極線がオイラー線の極を探す

S:もしかしたら、極線がオイラー線になる心が見つかるんじゃない。
S:そうか。こうやって根気よくやれば、オイラー線と極線がピッタリ重なる心が見つかるよ。
・・・
S:見つかった。n1=648だ。
S:この心は特別なものなのかな?
S:調べてみよう。

TriangleCenters
X(648) = TRILINEAR POLE OF EULER LINE
Trilinears 1/[a(b2 - c2)(b2 + c2 - a2)
Trilinears csc 2A csc(B - C) : :
Trilinears (csc A)/(tan B - tan C) : :
X(648) is constructed as the pole of the Euler line L as follows: let A", B", C" be the points where L meets the sidelines BC, CA, AB of ABC. Let A', B', C' be the harmonic conjugates of A", B", C" with respect to {B,C}, {C,A}, {A,B}, respectively, The lines AA', BB', CC' concur in X(648).

T:ここでPoleというのが極。
S:polelineが極線ですね。
S:この極と極線で内接円錐曲線を作図できますね。どういう円錐曲線になるんだろうか?
T:この説明の後半の文は、オイラー線から極を求める作図の方法が書いてあります。
S:実際に作ってみよう。



S:あれこの図形は放物線かな。

更なる発展へ

172、GeoGebra 九点円とオイラー線の研究 ・・・傍九点(傍心円と九点円の接点と頂点を結ぶ直線の交点)の発見  (2015.8)
215、GeoGebra オイラー線 ・・・オイラー線上にある点をまとめる  (2015.12)
297、三角形の極と極線への誘い ・・・三角形の極線の性質から円錐曲線へ 証明を中心に (2020.3)

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