-------------------------【問題１】 左のような平行四辺形で、
？の角度を求めなさい。
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Ｔ：これを解いたら、５をあげよう。
S：ホントに５をくれるの。
Ｔ：もちろん。期末テストが悪くてもこれを解いたといいうだけで５のねうちがある。
S：ヒントがほしいな。
Ｔ：これは補助線をいかに引くかの問題で、ポイントは正三角形と二等辺三角形です。
S：ヨーシ、やってみよう。
パズルから数学へ 数学からパズルへの誘い
――パズルは遊び。パズルは数学の母――
これは、一見簡単そうですが、やってみると案外と難しい問題です。まずはわかる角度をかきこみ、いろいろな補助線を引いて考えてみてください。
できなくとも、がっかりすることはありません。こういった問題は考えることに意味があるのです。そして、ギブアップしたら、答えを見て下さい。
S：えっ！答えを見てもいいの？
Ｔ：そうです。答えもヒント。パズルには一定の解き方パターンがあって、このパターンをつかめれば、同じような問題を解くことができるからね。
【ヒント】
ＡからDEに垂線を引きます。垂線の足をBとすると、なんと！！△ABCは正三角形になるのです。
【解答】
まず、∠ＣＢDが３０度になるようにBをとり二等辺三角形CDBを作ります。すると∠DCB＝１２０度になります。つまり∠ACB＝６０度で、しかもＤＣ＝ＣＡ＝ＣＢすから、△ACBは正三角形になります。そうすると、ＣB＝ＡＢとなります。
さらに、∠ＥＣＢ＝１５度からＣＢ＝ＢＥがわかり、△ＡＢＥは二等辺三角形となって、∠ＡＥB＝４５度となります。
このCBの補助線はなかなか思いつきませんよね。 図を見る
さてそこで、この補助線の引き方の応用で、同じような問題を出します。
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【問題２】頂角が２０度の二等辺三角形で、左の図の
様に底角を６０度と５０度に分割する線があります。
？は何度でしょうか。
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S：これも補助線を引けばわかるの？
Ｔ：そうです。これも補助線を引いて正三角形を作ればいいのです。
S：まずわかっている角度を入れていくと･･･。
S：難しいよー。
これらの問題は、最初から正三角形と二等辺三角形からできている形（角度）であるという共通点があります。
もし、問題２が解けなかったら、こちらを先にやってみてください。大きなヒントです。
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【問題３】
右の図のような二等辺三角形はあるでしょうか？
あるとしたら、頂角は何度になるでしょうか？
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まず、頂角をχ°として、方程式を立ててみましょう。
どうですか。頂角はぴったり２０度になるでしょう。そうすると、これを左の図に重ねることができます。さて、何がわかるでしょうか？
S：下から２番目の二等辺三角形は正三角形になるんじゃない。だって、底角が６０°だよ。
S：そうすると･･。あっ、ここにも二等辺三角形がある。
S：わかった！ ？は３０°だ。
「図を見る」
この頂角が２０度の二等辺三角形は、かなり[ユニークな二等辺三角形]です。二等辺三角形の中の二等辺三角形とでも言いましょうか。同様に問題１の平行四辺形は、二つの三角定規からできている平行四辺形です。平行四辺形のキングとでも言いましょうか。
２、問題づくり（逆に考える）････意外性のある問題
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【正多角形】
正多角形は全ての辺の長さと内角が同じ。
では、全ての辺と内角が同じ多角形は正多角形になるか？
ｅｘ．正六角形は内角が１２０度である。では、内角が１００度の正多角形はどんな形か？
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S：１００度で作っていくと･･･あれ、辺と交わるところが１００度ではないよ。正多角形にはならない。
Ｔ：そこで諦めない。それを続けて描いてみて。
S：線が交わってもいいの？
Ｔ：そう。でも辺の長さは同じにしてね。そうやっていくと、ぴったりと重なる時があるでしょう。
S：星型になるよ。
これは、「分数多角形」から考え出した問題です。一見できないように見えますが･･･。
ちなみに内角が９０度なら、３６０÷（１８０−９０）＝４ となり、正四角形となります。
この考えでいくと、１００度では、３６０÷（１８０−１００）＝９／２ となり、正９／２角形となるのですが･･･
この正多角形はどんな形になるのでしょうか？ 【正９／２角形を見る】
何でも「逆」を考えるとより「一般化」できることがあります。こうやって正多角形を一般化することもできるのです。
S：一般化すると何か良いことがあるの？
T：そうだなぁ。世界が広がるというか。そうそう、発明なんかはこういう発想でやっている。「数の一般化」も応用の広いすばらしい発明だよ。
３、パズルにはパターンがある
私はパズルを解くことが苦手でした。自分は柔軟な思考ができないのだとコンプレックスを持っていました。ところが解答を見ると、なーんだと納得します。でも、どうやってこういう考え方ができたのだろうかと不思議でした。それ以来、すぐに解答を見るという方法をとってみました。すると、パズルの解き方には一定のパターンがあることがわかってきたのです。そしてそれはパズルの問題を作るパターンでもあったのです。
S：数学の問題自体がパズルのようなもんじゃない？
S：パズルだったら楽しんで解けるんだけどなぁ。
４、パズルをひろげる （パズルを楽しむ）
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【チョコレートケーキの問題】 立方体のケーキがある。
このケーキにはチョコレートがかぶせてある。
このケーキをチョコレートの量も同じになるように３等分したい。どのように切ればいいか？
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Ｔ：クリスマスのケーキを切るでしょう。もし丸くない正方形のチョコレートケーキならどう切るのかという問題。
S：底にはチョコレートがかかっていないんですね。
Ｔ：そうです。上と側面にチョコレートがかかっています。
S：横に３等分すると真ん中の人のチョコレートが少ないよ。
Ｔ：発想を少し変えてみて。直接３等分しなくてもいいんだよ。
S：わかった。９等分して３個ずつにすればいいんだ。
S：どう９等分するの？
S：辺を３等分して縦横を切れば、９等分になるよ。
S：だめだよ。かどが４つできるから３等分にはできない。
S：９等分がだめなら、１２等分ならどう。
Ｔ：いいアイディアですね。ところでクリスマスケーキの場合はどうやって切っているの？
S：中心で等分すればできるかもしれない。三角形を作るんだ。
S：そうか、この三角形の高さと底辺が同じだから面積も同じだ。
S：ということは、チョコレートの量も同じになる。側面も同じだ。だから、これを４個ずつ集めれば３等分になる。できた！
Ｔ：よくできましたね。これは正方形を３等分するという問題だけど、側面にチョコレートがあるから等分の仕方に工夫がいる。じゃあ、正方形を長方形にしてもできるなかな？
「直方体のチョコレートケーキを３等分せよ」
S：正方形と同じようにできないのかな。
S：各辺を３等分して三角形を作ると、○の三角形と□の三角形の面積は同じなの？
S：同じじゃないような気がするな。
S：同じだよ。だって、長方形を対角線で４つに切ったら、できた三角形は面積が等しいよ。
S：ちょっとまって。どうして面積が同じになるの？
S：長方形の対角線はお互いに等分するでしょ。これを底辺とすると高さが一緒だから面積が等しくなる。それを３等分するんだから一つの三角形の面積も等しくなる。○＝□だ。
S：なるほど。
Ｔ：長方形にしても、正方形と同じことが成り立つんだね。これをパズルとして出す場合、長方形の方で出した方がより難しくなるね。辺の長さを３で割れるように指定するのも良いかもしれない。
５、パズルから数学へ
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【ＴとＷ】
Tに直線３本引いて三角形を５個つくるにはどうしたらいいか？
Ｗに直線を３本引いて三角形を９個作るにはどうしたらいいか？
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Ｔ：先生のホームページの掲示板にこういう問題を書いてきた人がいたんだ。Ｗの場合は８個までは見つけたんだけど９個ができない。誰か解いてみて。
S：先生もできなかったのか。私ならできるかもしれない。
S：Tの場合は「直線五本で三角形を５つ作れ」と同じことだね。
S：あれ、もしかしたら星型五角形は三角形が五つあるんじゃない。
Ｔ：「二分の五角形」は確かに５本で三角形が５つあるね。
S：できた。「図を見る」
Ｔ：渡辺くんができたみたいだから紹介するよ。どう？
S：間違いなく五個ある。
Ｔ：ではＷの場合はどうだろう。Ｔを利用できないかな。
S：真ん中に星型五角形を作ったらどうだろう。
S：できた！「図を見る」
S：すごい。ちゃんと９個ある。
Ｔ：どうやらキーは星型五角形だったね。順番に調べてみようか。３本なら三角形は１つ。４本なら２つ。ところが５本だと一気に５つになる。調べてみてください。
S：６本だと７個かな。
S：表にしてみよう。７本を調べる人、８本を調べる人、９本を調べる人･･･
直線の本数： ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ･･･
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三角形の数： １ ２ ５ ７ １１ １５ ２１ ･･･
S：Ｗと３本で合計７本なのに、９個ではなく１１個なのはどうして？
S：この表にはどういう法則があるんだろう？
Ｔ：先生も考えてみたけどわからなかった。この法則がわかったらすごい。「もしかしたら」と思いついたら教えてね。
Ｔ：その外にも疑問がいろいろと浮かんでくる。例えば、「五本の直線で一番三角形がたくさんできる形は星型五角形だけか」。それ以外にもあるのか。５個が最高か。もしそうなら、星型五角形は五本の直線で５個の三角形ができる図形と定義できる。面白い問題がいっぱい出てくるパズルだからぜひ研究してみてください。
リンク［パズルハウス］の「トライアングル」に挑戦！
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【偽コインの問題】１２個のコインの中に１個だけ偽物がある。
天秤を３回使ってその偽コインを見つけよ。
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Ｔ：これは昔からある有名なパズルなんです。けっこう難しい。
S：重いか軽いかわかっていないんですね。
Ｔ：そうです。ポイントは本物と比べるといういことだね。
S：幾つに分ければいいのかな。二つに分けても意味がないし。
S：４，４，４と３つに分けて測ればいいんだ。もし釣り合えば残りの中にあるという事だからね。よし、やってみよう。
S：できないよ。何かヒントはないの。
Ｔ：例えば、２個の場合はできるかな。
S：２個だとどっちが偽物かわからないよ。３個だと２個が同じだから偽者はわかるけど。
S：３個だと２回測ればわかる。１個ずつ測って、もし傾いたら測らなかったのが本物だから、もう一回その本物と比べてみればいい。
Ｔ：じゃあ、４個だとどうだろう。
S：１，１，２と分けて、１と１を比べて釣り合ったら、残りの２個のうち１個と本物を比べる。もし釣りあわなかったら残りが本物だからそれとどちらか一方と比べる。つまり、２回でわかる。
Ｔ：５個だと何回でわかる？
S：２，２，１と分けて･･･。あれ？こんどは３回かかる。
Ｔ：どうやって測ったの？
S：釣り合ったら一回でわかる。釣り合わない時、●●（下がった方） ○○（上がった方） ◎（本物）と分かれるから、２回目は、●◎と●○で測る。もし釣り合えば、残りの○が偽物。もし、右が下がれば、右の●が偽物。もし、左が下がれば左の●か右の○だから、３回目にどちらかと本物を比べれば分かる。
S：なるほど。
Ｔ：●◎と●○で測るのがグッドアイディアだね。ではこの方法を使って６，７，８･･･と調べてみよう。
コインの数： ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７･･･
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測る回数： ２ ２ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ４ ４ ４ ４･･･
S：３，３，３はできる。３，３，５もできる。最初に測るのは４，４までは３回でできるよ。残りのは５個までは３回でできる。４，４，６の６が４回かかる。３回でできるのは１３個までだよ。
S：だったら、１３個で３回という問題をだした方がいいのに。
S：１２個の場合もいろいろなやり方があるね。【問題の解答】
Ｔ：４回まででできるのは何個までいくと思う？
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【ユーロのお金の種類】
できるだけ少ない硬貨で、何通りもの金額を払うためには
どんな種類のお金を用意したらいいか。
例えば、１００円までの金額を払うためには何種類のコインが何枚必要か？
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こんな質問をうけました。
『来年（２００２年）、ユーロ紙幣・通貨が発行されるそうです。紙幣は、５、１０、２０、５０、１００，２００、５００ユーロ。硬貨は、１、２、１０、２０、５０セント、１、２ユーロ。
こんなに必要なのか？ 計算する場合、偶数と奇数のお金は必要なのか？ 日本では､紙幣１０００､（２０００､）５０００､１００００円。硬貨１、５、１０，５０、１００、５００円。
僕はコンビニに行ったときは、例えば、８３４円の商品は１０３４円のお金を出し、２００円のおつりをもらうようにしている。５２５円だったら５３０円で５円のおつり。なるべくつり銭を貰わないように心がけています。やはり、１と５の組み合わせが妥当ではないでしょうか。ユーロが財布に入っていたら頭がパニックってしまうような気がします。』
いよいよヨーロッパの[グローバル化]が始まりましたね。これは面白い問題です。日本でも２０００円札の発行がありましたが、あのお札はどこへ消えてしまったんでしょうね。２０００円は必要ではなかったんでしょうか。
さて、１，５，１０，５０，１００，５００円が日本の硬貨です。２円硬貨や２００円硬貨はありません。でも，私はユーロの方が便利だと思います。
ちなみに，ユーロだとたった２個のコインを使うだけで，５０までで払える金額が１８種類もあります。これが日本の硬貨だと９種類しかありません。３個だと３４種類（日本の硬貨なら１７種類)。お釣りを入れると，ほとんどの金額が３個のコインで足ります。日本のように１円玉が何個も財布の中にたまるという事はないのです。
例えば，３４ユーロなら２０ユーロと１０ユーロと２ユーロを２個の計４個（枚）払えばいいのです。これが日本だと１０円を３個と１円を４個の計７個（枚）です。
８３４なら，５００と２００と１００と２０と１０と２と２を払います。５００と５００払えば，お釣りは５０と１０と５と１です。５２３なら，５００と２０と２と１ですから，引き算をしなくても出せるわけです。つまり，日本の硬貨の種類の少なさはお釣りを出すことを前提にしているわけです。引き算が苦手な人はユーロの方が良いですね。（わたしもそうです。)ユーロは硬貨が計算棒（器)のようなものになっています。
ちなみに一番少ない個数でどれだけまでの金額を払うことができるかというと，１，２，２，５，１０，２０，２０の８個で１１０まではらうことができます。これが日本のお金なら１，１，１，１，５，１０，１０，１０，１０，５０の１０個で９９円までです。
これは日本の硬貨とユーロの硬貨の比較になり、文化比較もできますね。ユーロは引き算を前提にせずに，お釣りなしで払うという発想ですね。
ここで、「１００円までの全ての金額を払うことができる硬貨の一番少ない個数は？｣
という問題ができます。かって，「天秤で重さを測るときにどんな錘がどれだけ必要か」という問題がありました。それと同じです。これは、２進法で考えるとわかり易い。１，２，４，８，１６，３２，６４ の７個のお金で１２７までの全ての金額を払うことができます。このような金額のコインを作ったらきっと便利だと思うんですが･･･。これが最も合理的なコインのグローバル･スタンダードですよ。ユーロも円もどちらも十進法に規制されていますね。
