n　　　　X　 X²　X³　X⁴　X⁵　X⁶　X⁷ …
　-6　 1 (　)(　)(　)(　)(　)(　)(　)…
　-5　 1　-5 (　)(　)(　)(　)(　)(　)…
　-4　 1　-4 (　)(　)(　)(　)(　)(　)…
　-3　 1　-3 　6 -10　15 -21　28 -36 …
　-2　 1　-2　 3　-4　 5　-6　 7　-8 …
　-1 　1　-1　 1　-1　 1　-1　 1　-1 …
　 0　 1
　 1　 1　 1　
　 2　 1 　2 　1　
　 3　 1 　3 　3 　1
　 4　 1 　4 　6 　4　 1
　 5　 1 　5　10　10　 5　 1
　 6　 1 　6　15　20　15　 6　 1
　 7　 1 　7　21　35　35　21　 7 　1
　 8　 1 　8　28　56　70　56　28　 8　 1
　 9　 1　 9　36　84 126 126　84　36　 9　 1

S：上と下とは、対称になっているような気がするな。
S：符号が違うだけじゃない。
T：全体を統一して見るために、ｎ＝１のときなどの、他の係数を０と考えてみよう。

３、無限ベキ級数

T：つまり、ａ₀＋ａ₁χ＋ａ₂χ²＋ａ₃χ³＋ａ₄χ⁴＋ａ₅χ⁵＋ａ₆χ⁶＋ａ₇χ⁷＋…という無限ベキ級数に、展開できると考えるんだ。
S：０を書いても、変わらないような気がするけど…
S：おっ！！　ちゃんと法則がある。

　n　定数　X　 X²　X³　X⁴　X⁵　X⁶　X⁷ …
　-6　 1 (-6)(21)-56 126 (　)(　)(　)…
　-5　 1　-5 (15)-35 (70)-126(　)(　)…
　-4　 1　-4 (10)-20 (35)-56 (84)-120…
　-3　 1　-3 ( 6)-10 (15)-21 (28)-36 …
　-2　 1　-2　 3　-4　 5　-6　 7　-8 …
　-1 　1　-1　 1　-1　 1　-1　 1　-1 …
　 0 　1　 0　 0　 0　 0　 0　 0　 0 …
　 1 　1　 1　 0　 0　 0　 0　 0　 0 …
　 2　 1 　2 　1　 0　 0　 0　 0　 0 …
　 3 　1 　3 　3 　1　 0　 0　 0　 0 …
　 4 　1 　4 　6 　4　 1　 0　 0　 0 …
　 5 　1 　5　10　10　 5　 1　 0　 0 …
　 6 　1 　6　15　20　15　 6　 1　 0 …
　 7 　1 　7　21　35　35　21　 7　 1 …
　 8 　1 　8　28　56　70　56　28　 8　 1 …
　 9 　1　 9　36　84 126 126　84　36　 9　 1 …

S：さっきのパスカルの三角形の法則（上の２つの項を足すと、下の項になる）は、マイナスの所でも成り立っているよ。
S：パスカルの三角形ではなく、パスカルの四角形だ。
T：これを、それぞれの係数ごとに見ると、どうなるだろうか。
S：ｎがマイナスでも予想できるよ。
S：マイナスもプラスと同じだ。

４、ｎが分数の時はどうなるか？

T：さて、負の数でも、展開できることがわかったね。
S：負の数でも展開できるのなら、分数でも展開できないかな。
T：そうなんだ。同じことを、ニュートンさんは考えた。ｎが分数の場合でも、展開することはできないだろうか？
S：(1+χ)^1/2も展開できるということ？
S：そんなことはできるの？
T：χ^rの係数の一般項を見つけるんだ。数学では、公式（法則）を見つけると、その公式（法則）は他の場合でもあてはまることがある。
S：χの係数は簡単だ。ｎだよ。χ²は・・・えーと？
T：χ²の項を並べてみよう。

n：-4 -3 -2 -1　0 +1 +2 +3 +4 +5 +6…
a：10　6　3　1　0　0　1　3　6 10 15…
　　　　　　　(階差）1　2　3 4　5
T：まず、この級数の一般項を見つけてみよう。
S：ｎ＞０の階差（隣の項との差）を調べると、1,2,3,4,5…だ。つまり、
a₁　　0＝0
a₂　　0+1＝1
a₃　　0+1+2＝3
a₄　　0+1+2+3＝6
a₅　　0+1+2+3+4＝10
a₆　　0+1+2+3+4+5＝15
　・・・ 一般項は、（三角数のページへ）
a_n　　0+1+2+3+…+(n-1)＝n(n-1)/2＝(n²-n)/2

S：この式は、マイナスの場合もあてはまるのかな。
S：ｎ＝-２を代入してみよう。-２・（-３）／２＝３。ｎ＝１，０のときもちゃんと０になる。
S：マイナスのときもあてはまっているよ。
T：次は、χ³の項を並べてみよう。

n： -4　-3　-2　-1　0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8…
a：-20 -10　-4　-1　0　0　0　1　4 10 20 35 56…

T：この級数の一般項は？
S：階差を調べると、0, 1, 3, 6, 10, 15, 21…だ。もう1回階差をとろう。
　　　　　　　　　　 1, 2, 3, 4 , 5 , 6 …　規則が出てきた。
つまり、
　a₁　　0＝0
　a₂　　0+0＝0
　a₃　　0+0+1＝1
　a₄　　0+0+1+(1+2)＝4
　a₅　　0+0+1+(1+2)+(1+2+3)＝10
　a₆　　0+0+1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)＝20
　a₇　　0+0+1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)＝35
　・・・　ここから一般項を予測すると、

　a_n　　0+0+1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+…+(1+2+…+(n-2))
　　　＝0+0+2/2+3･2/2+4･3/2+5･4/2+…+(n-2)(n-3)/2+(n-1)(n-2)/2
　　　＝(0+0+2+3･2+4･3+5･4+…+(n-2)(n-3)+(n-1)(n-2))/2
　　　＝(0+0+2(2-1)+3･(3-1)+4･(4-1)+5･(5-1)+…+(n-2)(n-2-1)+(n-1)(n-1-1))/2
　　　＝(0+0+2²-2+3²-3+4²-4+5²-5+…+(n-2)²-(n-2)+(n-1)²-(n-1))/2
　　　＝((2²+3²+4²+5²+…+(n-1)²)-(2+3+4+5+…+(n-1)))/2
　　　＝(n(2n-1)(n-1)/6-1-(n(n-1)/2-1))/2
　　　＝(n(2n-1)(n-1)/6-(n(n-1)/2))/2
　　　＝(n(2n-1)(n-1)-3n(n-1))/12
　　　＝(n³-3n²+2n)/6
　　　＝n(n-1)(n-2)/6

S：ところで、(2²＋3²＋4²＋5²＋…＋(n-1)²＝はどうやって求めるの？
T：自然数の平方の和 Ｓn＝1+4+9+16+…+n²　を、上の計算と同じようにやってごらん。
S：まず、1,　4,　9, 16,…,n²の階差をとると、
　　　　　 3,　5,　7,　9…　さらに階差をとると、
　　　　　　 2,　2,　2…　ということは、
　a₁　　1＝1
　a₂　　1+(1+2)＝4
　a₃　　1+(1+2)+(1+2+2)＝9
　a₄　　1+(1+2)+(1+2+2)+(1+2+2+2)＝16
　a₅　　1+(1+2)+(1+2+2)+(1+2+2+2)+(1+2+2+2+2)＝25
　　・・・　一般項は,
　a_n +) 1+(1+2)+(1+2+2)+(1+2+2+2)+(1+2+2+2+2)+…+(1+2+2+2+…+2)＝ｎ²　これまでの項を全て足すと、

　Ｓ_n＝n+(n-1)+2(n-1)+(n-2)+4(n-2)+(n-3)+6(n-3)…+1+2(n-1)(n-(n-1))
　　 ＝(n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+1)+(2n+4n+6n+…+2(n-1)n)-(2+8+18+…+2(n-1)²)
　　 ＝n(n+1)/2+2n(1+2+3+4+…+(n-1))-2(1+4+9+16+…+(n-1)²)
　　 ＝n(n+1)/2+2n(n(n-1)/2)-2(Ｓ_n-n²)
　ここで、2Ｓ_nを移項して、
Ｓ_n＋2Ｓ_n＝(n(n+1)+2n²(n-1)+4n²)/2)
　　 3Ｓ_n＝n(2n+1)(n+1)/2
　　　Ｓ_n＝n(2n+1)(n+1)/6＝((2n+1)/3)(1+2+3+…+n)
このｎに(n-1)を代入すれば、n(2n-1)(n-1)/6　が出るよ。

T：さあ、ここで、χ³の一般項n(n-1)(n-2)/6が、マイナスの場合にも成り立つかどうか調べてみよう。
S：ｎ＝−３のときは、-3・(-4)・(-5)／6＝-10。ぴったり。
S：他の数も大丈夫みたい。
S：０が３つ続くのがわかったよ。n＝0,1,2の時は係数は０だよ。
S：つまり、(1+χ)⁰や(1+χ)¹にも、当てはまっているということですね。


５、ニュートンの二項定理

S：今度は、χ⁴の係数か。めんどくさそうだな。
T：(1+χ)ⁿ＝1+(n/1)χ+(n(n-1)/2)χ²+(n(n-1)(n-2)/2・3)χ³+（　　　　）χ⁴+…+（　　　　）χ^r+…
　 このχ⁴とχ^rの係数を予測してみよう。
S：χ⁴の係数は、n(n-1)(n-2)(n-3)/(2・3・4)じゃないかな。
S：確かめてみよう。・・・ぴったりだよ。
S：とすると、χ^rの係数は、n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1)/(2・3・4…r)だ。
S：これが一般項なの。そうすると、この係数はｒが無限に大きくなっても成立しているということ？
S：無限ベキ級数だね。

T：では、いよいよこの法則が分数でも成り立っているか、調べてみよう。
S：ｎ＝1/2を代入してみよう。
　 1+(1/2)χ-(1/8)χ²+(1/16)χ³-・・・
S：この式が正しいということは、どうやって確かめればいいのですか？
S：(1+χ)^1/2＝√（(1+χ)だったよね。
S：χ＝１だったら、√２になるから、確かめられるんじゃない。
S：χ＜１だよ。
S：でも、１なら近いからいいんじゃない。
T：とにかく計算してみよう。エクセルを使うと簡単だよ。
　　　・・・
S：χ¹⁷まで計算して、1.412063526…。一方、√２＝1.41421356…だから、だいぶ近いな。
S：χ＝0.5だと、どうだろう。
S：χ¹⁷まで計算して、1.22474485…。一方、√1.5＝1.224744871…。かなり近い。
S：分数の場合も、この定理は成り立っている、といっていいみたいだよ。
T：ニュートンは、ｎが分数のときも、展開できないかと考え、この公式を見つけた。そして、成り立つことを証明した。だから、これをニュートンの二項定理という。
S：二項というのは、１とχの２項ということですね。
S：ニュートンさんは、自然数から整数。そして、負の数。さらに分数へと法則が成り立つかどうか調べていったんですね。
S：この公式、(1+χ)ⁿ＝1+(n/1)χ+(n(n-1)/2)χ²+(n(n-1)(n-2)/6)χ³+…＋(n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-r+1)/2・3・4…r)χ^r+…が、どんな数でも成り立っているということがすごいんですね。
S：実数や虚数でも成り立つんですね。
S：もしかしたら、どんな関数や数でも無限ベキ級数で表せるんじゃない。
S：じゃ、いろいろやってみよう。

(1)　1/(1-χ)＝(1-χ)^-1＝
(2)　1/(1-χ²)＝(1-χ²)^-1＝
(3)　√(1+χ)＝(1+χ)^1/2＝
(4)　1/√(1+χ)＝(1+χ)^-1/2＝
(5)　1/√(1-χ²)＝(1-χ²)^-1/2＝
(6)　√(1-χ²)＝(1-χ²)^1/2＝
(7)　(1+1/χ)^χ＝

Ｔ：ニュートンは、(5)の式を積分して、
　1/sinχ＝χ+(1/2・3)χ³+(1・3/2・4・5)χ⁵+…　を求めています。
　また、sinχも展開できます。･���・・・

　　　sinχ＝a₀+a₁χ+a₂χ²+a₃χ³+a₄χ⁴+…とする（とできるとする）。
　　　χ＝0を代入すると、a₀＝0　…(1)
　　　両辺を微分すると、cosχ＝a₁+2a₂χ+3a₃χ²+…
　　　χ＝0を代入すると、cos0＝1＝a₁　…(2)
　　　この(1)(2)を繰り返すと、sinχ＝χ-(1/2･3)χ³+(1/2・3・4・5)χ⁵-…　と展開できます。

　　　そして、これを一般化したのがマクローリンの展開式
　　ｆ(χ)＝ｆ(0)＋χf'(0)+(χ²/2･1)f''(χ)+(χ³/3･2･1)f'''(χ)+…

S：この式って、二項定理の拡張になっていない。
T：そうだね。f(χ)＝(1+χ)^-1やf(χ)＝(1+χ)^1/2で、係数がぴったり合うね。よく考えると、二項定理を使って、ｙ＝χⁿの導関数が求まるんだから当然かな。
S：そうか。パスカルの四角形を見ると、ｆ_n'(χ)＝nｆ_n-1(χ)　が成立するから、微分をしているということですね。

T：最後の(7)の極限は、lim(1+1/χ)^χ＝ｅ　になります。
　さらに、微分しても、もとの式と変わらない無限ベキ級数を作ってみてください。それは、e^χの展開式です。
　そして、それとsinχとcosχを組み合わせると、オイラーの公式が出てきます。