1/3+(1/3)2+(1/3)3+･･･＝1/2
1/4+(1/4)2+(1/4)3+･･･＝1/3
を図で説明してください。
１/ｎ+(１/ｎ)2+(1/ｎ)3+･･･＝１/(ｎ−１)
の証明もお願いします。
グラフで説明すると 課題を図で説明するとなると難しくて苦心しました。
概略を説明します。
ｆ(ｘ)＝(1／(n-1))ｘ…「赤」と
ｇ(ｘ)＝(n／(n-1))ｘ…「青」の
二つの正比例のグラフを描きます。
ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)−ｆ(ｘ)＝ｘ ですから、
この二つのグラフの間はｘの値と同じになります。
例えば、ｘ1＝1/nとすると,
ｇ(1/n)＝1/(n-1)で
ｈ(1/n)＝1/n
ｆ(1/n)＝1/n(n-1)となります。
ｇ(ｘ2)＝1/n(n-1)なので,
n/(n-1)・ｘ2＝1/n(n-1)
よって ｘ2＝1/n2
以下同様に, ｘ3＝1/n3
ｘ4＝1/n4
・・・となります。
これを、右のように二つのグラフの間に折れ線を描き込んで表わします。
ｘ0＝１から上へスタートして,ｆ(１)で左に曲がり,ｇ(ｘ1)にぶつかったら,下に曲がり,ｆ(ｘ1)にぶつかったら,左に曲がって,ｇ(ｘ2)にぶつかったら,下に曲がるという様に無限の折れ線ができます。これはｘ＝０で、y＝０に収束します。
従って,図を見ると,
1/n+(1/n)2+(1/n)3+･･･＝1/(n-1)ということがすぐわかります。(右の図)
具体的に、ｎ＝３で確かめてみてください。(下の図)
等比級数
ちなみに等比級数で証明すると,
1/n+(1/n)2+(1/n)3+･･･＝Σとします。
両辺にｎをかけると,
n・Σ＝1＋1/n+(1/n)2+(1/n)3+･･･
ですから
n・Σ−Σ＝1 となり,
(n-1)・Σ＝1
従って, Σ＝1/(n-1)
となります。
1/2+(1/2)2+(1/2)3+･･･＝1 は図で簡単に描けます。
線分１をとってその半分,残りの半分,残りの半分というようにやっていけば,
１に近づいていくことが直感的に見えます。
1/3+(1/3)2+(1/3)3+･･･＝1/2 も簡単です。
上と同様にやれば,１／２に近づいていくことが見えます。
ところが,
1/4+(1/4)2+(1/4)3+･･･＝1/3 は図では難しい。
それで,グラフで表わしてみたのです。
