「ミケルの六円定理」と四角形に内接する楕円の不思議な関係

〜四角形に内接する楕円の作図方法〜

孫：お爺ちゃん、何でこんなめんどくさいことをやっているの？
爺：面白いからだけど、やらなおれん。
孫：癖になっているんだね。
爺：厄介な癖だけど、悪くはない。それに今までわからなかったことがすっきりする。
孫：このまとめてあるファイルを見ると、いろんな歴史があったんだね。
爺：以前「四角形の内接楕円」が作図できた。一方「ミケルの六円定理」にも内接楕円が出てくる。
　何か関連があるのではないか、これらをつなげることが出来るのではないか。そう考えたんだ。

爺：この作図のナビゲーションを戻してみると、作図の仕方がわかる。
孫：外側に円が４つ、共円が２つで「６円定理」か。証明は中学３年生ならできるね。
爺：この時、赤円の中心と青円の中心は何だろうと疑問に思った。
　そして、「ミケルの六円定理」の二つの円の中心が外側の四角形に内接する楕円の焦点ではないかと思った。
孫：これらの円の中心の意味を考えたんだね。
爺：その意味が次の図。

孫：なるほど。中心を結んで四角形を作ると内側の円の中心を焦点として四角形に内接する楕円が簡単に作図できるんだね。
爺：わかってみると簡単だけど、内接楕円をどう作図すれば良いのかだって苦心したよ。
孫：ところで、ミケルの６円定理から内接楕円が作図できるなんてよく気がついたね。
爺：よくぞ聞いてくれた。それは、次の図から。（赤い点A_3などを動かすことができる）

爺：これを見ていたら、中心を結んだ線が一点で交わっている。これは外接六角形だと感じたから。
孫：そういえば、楕円に外接する六角形の対角線は一点で交わるという性質があるね。

孫：ということは、楕円を描いてからミケルの六円定理を作図すれば、ピッタリ合うということだね。
　楕円に外接する四角形から「ミケルの六円定理」を作図してみよう。

孫：これは楕円から四角形を作図した。逆に四角形からさっきみたいに楕円を作図できないの？
爺：そうなんだ。逆を考えると世界が拡がるからね。ところが、四角形を作図してから「ミケルの六円定理」を作図することは難しい。
孫：どうして？
爺：ピッタリ合う外側の円を描くことができない。
孫：中心の円（共円）が決まっていないと４円は描けないもんね。さっき描けたのは、楕円の焦点を利用したからだ。
爺：何とか作図することができないだろうかと考えていたら、四角形の内接楕円の作図法を利用すれば良いことに気がついた。
孫：そういえば、この前、「四角形の内接楕円は無限にある」と喜んでいたね。
爺：普通は内接楕円というのは焦点がわからないと作図できない。でも、極と極線を用いると内接楕円が作図できる。
孫：爺ちゃんがいつも言っている回り道をするんだね。
爺：そうなんだ。その回り道とは、まず「極と極線による四角形の内接楕円の作図」をする。（Ｉを自由にうごかすことができる）

孫：つまり、四角形の頂点から「ミケルの６円定理」を作図する条件は、内接楕円の焦点が内側の２円の中心だということだ。
爺：そうだね。この図で、Ｉを動かすと四角形は変わらないけど、焦点が変化する。

孫：四角形において「ミケルの６円定理」が成り立つためには、もう一つの円の中心がわかっていなければならない。そこで、極と極線から内接楕円を求めて、今度はその楕円の焦点を求め、その焦点を中心とするミケル円を作って作図すると、四角形を変えずにもう一つのミケル円を描くことができる。
爺：つまり、「四角形に内接する楕円の２つの焦点と四角形の4つの頂点が、ミケルの６円定理の中心となっている。」
孫：なるほど、面白いね。でも、ちょっと複雑すぎるような・・・
爺：上図の中にも何か法則があるような気がするけど、今の私には見つけることはできない。