多角形と内接する楕円の作図の仕方
多角形の極と極線と内接円錐曲線を探る
ずっと昔、四角形に内接する楕円の作図をやったと思うけど、すっかり忘れてしまっているのと、探してもどこにあるのかわからないので、もう一度作ってみることにした。
まず、三角形に内接する楕円は、極が決まれば無数に作図することができる。
これを見つけた時とてもうれしかった。
だけど、なぜそうなるのかわからないことだらけだった。
でも、四角形に内接する楕円の作図を何回も試行錯誤していて、ふと、これは三角形の場合と同じではないかと気がついたのだ。
《道草》
この図を見るとHNを引くと内接する四角形ができている。（もう一本引けるから五角形もできる）
とすると、先に四角形を作図してからそこにある三角形で考えれば、内接する楕円が描けるのではないかと考えた。
ポイントは三角形の極線を作図すること。
そして楕円が通る５点を見つけること。
次の図のナビゲーションを追って作図の仕方を調べてみよう。
Ｄを中に持っていくと楕円から放物線、双曲線へと変化する。
この方法だと三角形の極と四角形の極が一致する。
ちょっと複雑だけど確かに四角形の極から内接楕円が作図できた。
T：ナビゲーションを進めてみて。
これで「四角形の内接楕円」が作図できた。
一方「ミケルの六円定理」にも内接楕円が出てくる。
何か関連があるのではないか、これらをつなげることが出来るのではないか。
ずっと前、「ミケルの六円定理」の二つの円の中心が外側の四角形に内接する楕円の焦点であることを示した。
この時、四角形から内側の二円を作図することは難しかった。
楕円に外接する四角形からは「ミケルの六円定理」は作図できる。
でも、四角形から「ミケルの六円定理」を作図することは難しい。
何とか作図することができないだろうか。
そこで、回り道をすることにした。
その回り道とは、
①「極と極線による四角形の内接楕円の作図」→四角形に内接する楕円の作図方法 → GeoGebra
→②「楕円の焦点を求める」→楕円の焦点の求め方 ? GeoGebra
→③「焦点を中心とした円と頂点を中心とした円の交点を求める」
→④「もう一つの焦点から円を作図する」
つまり、四角形の頂点から「ミケルの６円定理」を作図する条件は、内接楕円の焦点が内側の２円の中心だということだ。
四角形において「ミケルの６円定理」が成り立つためには、もう一つの円の中心がわかっていなければならない。
そこで、極と極線から内接楕円を求めて、今度はその楕円の焦点を求め、その焦点を中心とするミケル円を作って作図すると、四角形を変えずにもう一つのミケル円を描くことができる。
つまり、「四角形に内接する楕円の２つの焦点と四角形の4つの頂点が、ミケルの６円定理の中心となっている。」
ところで、ミケルの６円定理と内接楕円の関連に気がついたのは、次の図から。
一点で交わっているので、外接六角形だと感じたから。
とにかくここが出発点だった。
→ミケルの定理と内接楕円のdiscover
これで、「四角形の内接楕円」と「ミケルの六円定理」の関係が明かになった。
次は五角形だが、これはもっと簡単な方法があることがわかっている。
この図は楕円を先に描いてから五角形を作図したもので、この性質を使って五角形から楕円が描けるのか実際に確かめてみよう。
今度は五角形に内接する楕円を作図してみよう。
ところで、五角形の場合は内接する楕円はひとつだけなのだろうか？ 他にもあるのだろうか？
次は六角形。
五角形の楕円を作成してからもう一つの接線を描くので、
六角形の場合は常に作図できるとは限らない。
内接楕円が描けるためには、特別の六角形の条件が必要となる。
例えば、ブリアンションの定理からこんな作図も出来る。
「円錐曲線に内接する２つの三角形の６つの辺は一つの円錐曲線に接する」
円の不思議を探る?
・・・ミケルの６円定理を探る 交点の作る二つの円の中心は内接する楕円の焦点だ！ （２０１７．７）
三角形には、極に対応する無数の内接する円錐曲線があり、 四角形には対角線の交点を極とする内接円錐曲線が一つあるが、極線は無数にある。 五角形には内接円錐曲線が一つあるが、その作図によって極を求めることができない。