関数を探る道具は、「表」と「グラフ」と「式」ですが、中でも表が一番基本です。集めたデータを表として整理し、そこからグラフや式を求めるからです。ところで、表のχにはだいたい整数の値を入れます。それに対して、ｙにはいろいろな値が入ります。でも、その計算がけっこうめんどくさいのです。
例えば、ｙ＝(2/3)χなど、分数の値の時には少数にするのか迷ってしまいます。これを何とか工夫できないでしょうか。
さらに、一次関数・二次関数などを学習すると、知識が増えるだけで、本質が何なのかわからなくなります。これらは比例の変形としてとらえたほうが活用ができます。つまり、比例をしっかりとモデル化し、それをベースにして一般化するのです。（ｙ＝aχ＋ｂによる一般化ではありません。）どうも私たちは比例関係しか認識できないと思われるからです。
ということで、ここでは、関数を表だけで考えるアイテム「表アイテム」を考えてみました。アイテムといっても、次の写真にあるような厚紙で作った簡単な表です。
２、一次関数はずらす・・・工夫のポイント(1)
ｙ＝２χの表は次の様に作ります。ｘ：０ １ ２ ３ ４ ５ …
ｙ：０ ２ ４ ６ ８ １０…
ところで、これはどういう関係ですか？
χが２倍３倍になると、ｙも２倍３倍になるから、正比例です。
じゃあ、このｙを左にずらすとどうなるのでしょうか？
表は次の様になります。これはどんな関係でしょうか？
ｘ： ０ １ ２ ３ ４ ５ …
ｙ：０ ２ ４ ６ ８ １０…
２ｘ ←０ ２ ４ ６ ８ １０…
＋２＋２＋２ ・・・
正比例ではないですね。でも、２ずつ増えている。
ｙから２引けば正比例になります。つまり、比例にいつも２が加わっているから、ｙ＝２χ＋２。
比例してはいませんが、正比例をずらしただけだけです。だから、正比例にとてもよく似ています。式で表すと一次式なので一次関数といい、ｙ＝ａχ＋ｂで表されます。ａを傾き、ｂを切片といいます。
もっとずらして、χ＝０のときｙ＝４，６…にすれば、ｙ＝２χ＋４やｙ＝２χ＋６になるのですね。
では、ｙ＝２χ＋１は、この表で表すことはできるのですか？
χ＝０のとき、ｙ＝１だから、こうなるのかな。
ｘ： ０ １ ２ ３ ４ ５ …
ｙ：０ ２ ４ ６ ８ １０…
うーん、いまいちピンと来ない。ｙに１がないのがいけないですよ。
ｙには自然数を入れた方がいい。
そうすると、こんどはχを拡大しなければ。
３、拡大する・・・工夫のポイント(2)
ｘ： ０ １ ２ ３ ４ ５ …
ｙ：０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１…
これでOK！ もっとずらせば、切片が３でも５でもOK。しかも、右へずらせば切片がマイナスになります。
これなら他の比例も表せそう。
やってみましょう。用意する表は次の6つぐらいで十分です。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303132 （1χ）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2χ）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3χ）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（4χ）
0 1 2 3 4 5 6 7 （5χ）
0 1 2 3 4 5 6（6χ）
順番に拡大されていることがわかりますね。
さあ、実際にこれを使ってみましょう。
４、比例を表だけで表してみよう
ｘ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2χ）
ｙ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303132 （1χ）
これはどんな関係？
(1) ｙは２ずつ増える。
(2) ０と１の間には0.5、１と２の間には1.5が入る。
(3) χを２倍するとｙになる。→式 ｙ＝２χ
(4) χの目盛は２倍に拡大されている。
(5) χが２倍３倍になると、ｙも２倍３倍になる。→これを比例といいます。
今度は、χを３倍に引き伸ばします。この関係はどうなるでしょう。
ｘ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3χ）
ｙ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303132 （1χ）
ｙ＝３χですね。もちろん、相似（引き伸ばしたの）だからχとｙは比例しています。
では、このχとｙの表を入れ替えるとどうなるのでしょう。
ｘ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627282930 （1χ）
ｙ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3χ）
ｙを３倍に拡大したのだから、３ｙ＝χ。つまり、ｙ＝1/3χになります。χ＝１のとき、ｙ＝1/3です。
χが１／３に縮小したのと同じですね。もちろん、逆の表が比例しているのだから、この表も比例していますね。
では、χ＝１のとき、ｙはいくつでしょう？
比例だから、１の１/3になります。
ということは、χが1/3になれば、ｙも1/3になるということですね。
さらに、ｙ＝４χはχを４倍に、ｙ＝５χは５倍に拡大すればいいんだ。
５、分数の傾きもこの表で表すことはできるか
では分数はどうだろうか？ ｙ＝(3/2)χはどうしたらいい？
２ｙ＝３χだから、χを３倍に拡大して、ｙを２倍に拡大すればどうでしょう。
ｘ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3χ）
ｙ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2χ）
これ、ピッタリじゃないですか。