y=1/xの積分はどう求めるか

反比例の積分がLog関数になるわけ

ベキ関数（ｙ＝ｘ^ｎ）の原始関数は予想ができる。でも、ｙ＝ｘ^−１（＝１／ｘ）の原始関数はわからない。
逆に対数関数の微分から１／ｘということがわかるけど、１／ｘとLogｘがなぜつながるのか昔から不思議だった。

１、対数の発見

ｙ＝１／ｘの面積は、どう発見されたのか調べてみると、対数の発見と関連があることがわかる。
そもそも対数は計算を楽にする必要から創り出された。 つまり、かけ算を足し算にするのが対数である。

これは、対数がかけ算を足し算に変える働きをしているということを示すシート。

AとBを動かしてみよう。
この対応する表をあらかじめ作っておけば、足し算でかけ算が計算できる。
この対数の原理は１６００年ごろネーピアが発見した。
かけ算を足し算に変えるということは、等比を等差に変えるということである。
そして、この対数によって計算する時間を大幅に省略することができたのだ。

２、反比例の曲線の面積を求める

これは、コンピュータに計算してもらったからすぐにわかるけど、当時はどのように計算して確かめたのだろうか。
まず、このことにどうやって気がついたのかというと、

このことから、
【ｙ＝１／χの面積を求めるにはどうしたら良いのか？】予想がつく。
彼はまず、ｘ軸を等比に分割し、その一つ一つをさらに等分して計算した。

赤い長方形は等積であることは計算からすぐにわかる。次にこれをｋ等分する。
この場合は左の方から順番に対応している長方形が等しくなるということが計算できる。
このｋを無限にすれば、双曲線の面積になるので、最初の図のことが言えるのだ。

ここまでくれば、反比例の曲線の原始関数が対数関数であると予想できる。

対数のしくみについての説明のページ

【比例を拡げる】

【「パスカルの三角形」から「ニュートンの二項定理」へ】

【オイラーの公式の発見】