比例の表から対数目盛りの表へ
ここでは、計算尺の原理を「比例の拡張」という視点から再構成してみます。
【表アイテム】でやったように、「表」を使うと、比例（かけ算）が目に見えるように表わされます。
例えば、×２は次の表で表わされます。
０ １ ２ ３ ４ ・・・ ９ ・・・ １００・・・
０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ・・・ １８ ・・・ ２００・・・
でも、これだと３倍、４倍の表を作るには、３の段の目盛り、４の段の目盛りを作らなければなりません。
だから、一つの目盛りで全てのかけ算ができればとても便利です。
でも、そんなことができるのでしょうか。
実はできるのです。そして、そのためのポイントはただ一つ。「ずらす」ことができるということです。
ところが、比例の表は、「ずらす」と一次関数になってしまいます。
この問題点を克服するにはどうしたらいいのでしょう。
(1)まず、「比例の表をずらすと比例でなくなるのは、なぜか」を考えてみましょう。
┌ ×2┐ ┌ ×2┐
0 1 2 3 0 1 2 3
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8
└ ×2┘ └×1.5┘
×2 ×1.5 ×1.33 …
1 2 3 4
このように比例の表は隣の数との比が一定ではないので、ずれると比例ではなくなるのです。
つまり、表が等差数列になっていて、等比ではないことが原因なのです。
とすると、同じ倍率を同じ長さ（等比数列）にすれば、ずらしても比例になるのではないかと予想できます。
前の数の２倍なら次の数も２倍にするのです。
1 →×2→ 2 →×2→ 22 →×2→ 23
1 →×3→ 3 →×3→ 32 →×3→ 33
このように、２倍の数の間隔が常に一定になっていたら、ずらしても比例になっているはずです。
これは、等比数列（指数）の表を使うということです。
(2)では、等比数列（指数）で表を作ってみましょう。
２0 ２1 ２2 ２3 ２4 ２5 ２6
２0 ２1 ２2 ２3 ２4 ２5 ２6
この表は、もちろん比例しています。指数も比例していますね。
では、この表を「ずらして」みます。
２0 ２1 ２2 ２3 ２4 ２5 ２6
２0 ２1 ２2 ２3 ２4 ２5 ２6
指数を見ると一次関数ですが、値は確かに比例しています。
なんと「ずらして」も比例関係が保たれているのです！
ですから、この表を使うと、【表アイテム】と同じ様に計算（かけ算）ができることになります。 （ex. ２2×２3＝２2+3＝２5）
さらに、２0＝３0＝４0＝１ですから ３0 ３1 ３2 ３4 ３5・・・も同じ数直線上にのせることができます。
こうやって作った数直線が対数目盛なのです。
２0 ２1 ２1.58 ２2 ２2.32 ２3
0 1 1.58 2 2.32 3 （目盛の長さ）
この目盛は、長さを指数で決めます。
例えば、３＝２xとしてｘを求めると、それが２を１とした時の３の長さということになります。
このｘを求めると、1.584962501…となります。
指数で表すときは、何を基数（底）とするのかが問題となります。この場合、基数２が単位みたいなものです。
(3)２つの対数目盛を「ずらして」みましょう。
見事に比例関係が保たれていますね。しかも、下の表は上の表の２倍になっています。
もっと「ずらして」みましょう。
上が２倍になれば、下も２倍。３倍になれば３倍です。そして、上の表の３倍が下の表の値になっています。
これを利用すると、かけ算が簡単にできることに気がつきます。
そして、もっと細かい目盛りを使えば、1.5×3.6も簡単に計算できます。
ずらすことは加法減法です。ずらしても比例になるということは、乗法除法ができるということです。
乗法が加法に変わります。これが計算尺の原理です。
なぜ比例するのかは、【６４、対数グラフ と
指数法則】のページへ
等比数列と等差数列の違いについては、【６７、私たちは、お金を対数目盛で考えている！？】のページへ
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