三角形からできる特別の三角形
― 逆を考えるトレーニング ―
１、中点三角形と逆中点三角形
T：各辺の中点を結んでできる三角形を中点三角形と言います。
作図をしてみましょう。
S：この三角形は元の三角形と相似だ。
S：頂点と中点を結ぶと一点で交わるね。これは確か重心だったね。
T：ここで大事な問題です。逆の発想をしてみましょう。
今度は△ＡＢＣが中点三角形になるような三角形を作図しましょう。
S：えーと、Ａが中点になるように円を描くと・・・
S：そんなめんどくさいことをしなくても、「中点連結の定理」を使って底辺と平行になるようにすればいい。
T：この三角形を△ＡＢＣの逆中点三角形と言います。
S：拡大しても重心はかわらないね。
T：ちなみに三角形での作図は簡単だけど、これを多角形で考えると意外に難しい。⇒【中点多角形と垂足多角形】
S：ところで、中点三角形ＤＥＦの外接円を作図してみると・・・△ＡＢＣの９点円だよ。
S：この９点円のもう一組の接点を結んでできる三角形は・・・
T：良い発想ですね。この三角形は大事な三角形で△ＡＢＣの垂線の足からできているので垂足三角形と言います。
２、垂足三角形と傍心三角形
T：今度は下の図で調べてみましょう。
S：頂点から対辺に垂線を引いて・・・この△ＤＥＦが垂足三角形か。
S：△ＡＢＣの垂心Ｈは△ＤＥＦの内心になっているよ。証明もできる。
T：ここで問題。
S：さっきの逆中点三角形のように、「△ＡＢＣが垂足三角形になるような三角形を作図するにはどうしたら良いか」でしょ。
T：よく分かったね。
S：垂直になるのだから点線と垂直になる線を引けばどうだろう。・・・だめだ。垂足三角形になっていない。
S：垂足三角形を作図したら垂心が内心になったんだから、内心を作図すれば良いんだ。
S：つまり、角の二等分線を引く。やってみよう。
S：そうか、角の二等分線は垂直になるからか。
S：これは傍心三角形ですよ。
S：あれ？垂心が内心になったということは、さっきの中点と組み合わせると外心にもなるんじゃない。
T：その「問い」いただき。
S：作図してみよう。下図のように点Ｇが、内心になったり垂心になったり外心になったりするということでしょう。
S：それぞれ別のものと思っていた内心と外心と垂心が、こうやって拡大したり縮小してみるとつながっているということですね。
T：この図で一番小さい三角形ＫＬＭの外接円は△ＤＥＦの内接円になっています。内接円の接点の作る三角形を内接円三角形と仮に名づけます。
３、内接円三角形と接線三角形
T：この内接する円が作る内接円三角形（図では内心三角形）を作図するにはどうしたら良いのでしょう。
S：内心を見つけて垂線を引いて接点を見つけて円を作図する。
T：この時、この接点と頂点を結ぶ線は一点で交わります。その点をジェルゴンヌ点といいます。
S：とすると、今度は外接円が内接円になる三角形を作図することができる。
S：やってみよう。・・・簡単だ！接線を引けばいいんだ。
T：この三角形を接線三角形と名づけましょう。
４、チェバ三角形と逆チェバ三角形
T：このジェルゴンヌ点を自由な点にすると？
S：三角形の中に点Ｐを取って頂点と結んだ線と各辺が交わる点が作る三角形ができるけど・・・
S：それは円ではなくなる・・・楕円になる。
S：でも、どうやってって楕円を作図すれば良いんだろう？
T：それについては、極線を知らないとできません。作図の仕方はナビゲーションで。
S：確かにＰをＧeにもって行くと円になる。
T：このＰが作る三角形をチェバ三角形と言います。
S：そうすると、△ＡＢＣがチェバ三角形になる三角形を作図するにはどうしたら良いのかということか。
T：このように拡大された三角形を逆チェバ三角形と言います。
S：こうやってどんどん一般化していくのか。
S：作図を考えることで、図形の世界が広がっていくんですね。
【逆中点三角形と傍心三角形】
【拡張三角形】
【重心・外心関係】
【垂足円】
【三角形の極と極線への誘い】
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