数学マジック

１、隠した数字を当てる！

Ｔ：これから数学を使ったマジックをします。皆さんが隠した数字を、全て当てます。
　 まず準備をするよ。簡単な計算だから協力してね。マジックには必ずタネが必要なんだ。
　 では、最初に３以上の好きな整数を思い浮かべてください。
　 その数字の右に０をつけてください。
　 そして、その数からさっきの数を引いてください。
　 準備はこれだけです。
　 さて、この数字であなたの隠した数を当ててみましょう。
　 どの数を隠してもいいですよ。さて、K君。君は何桁？
S：３桁です。
T：ではどれか１つだけ数字を隠して、後の２数を教えてください。
S：２と６です。
T：あなたの選んだ数は１ですね。
S：当たった。どうして？
T：次はＨさん。
S：１と４です。
T：あなたが隠した数は、４です。
S：エ〜！どうしてわかったの。
T：次はＰさん。
S：０と２と７です。
T：４桁ですね。０ですか。
S：違います。
T：あっ、ごめん０の下に線があった。９だ。
　（以下、次から次へと当てていく。）
S：２と４です。
T：えーっと、隠した数は、ずばり３でしょう。

【ジオジェブラのシュミレーションで確めてみよう】

Ｔ：さて、少しヒントをあげよう。
　今度は、数を黒板に書いていくよ。
　１と４→４　　　２と４→３　　　０と２と７→９　　　・・・　

S：わかった。合計が９になるんだ。
S：でも合計が１８の時もあるよ。
S：１８は９の２倍だよ。
Ｔ：まとめると、数字を合計すると９か１８になっている。
　ところで、最初の数は自分で選んだでしょ。その数をＡとするよ。
　そのＡの右に０をつけるということは・・・
S：わかった。１０倍するということだ。だから１０A。そこからAを引くんだから、１０A−A＝９Aだ。
S：つまり、９の倍数だ。だから、９の倍数になっているのか。
Ｔ：いや、違うんだな。９の倍数になることはわかったけど、そこからどうして隠した数字がわかるの？　例えば、２と４から３を予想したよ。でも数字は２４３かもしれないし、４２３かもしれないし、２３４かもしれないし、３２４かもしれない。
S：もしかしたら、これらの数は全部９の倍数でしょ。
Ｔ：おっ、すごい予想だ。実際に試してみよう。（電卓で９で割る）みんな９の倍数だ。
S：もしかしたら、それぞれの数字を合計すると９か１８になる数は９の倍数になるんじゃない？
Ｔ：それを証明してみようか。２３４＝２００＋３０＋４＝２×１００＋３×１０＋４＝２（９９＋１）＋３（９＋１）＋４＝２×９９＋２＋３×９＋３＋４＝（２×９９＋３×９）＋（２＋３＋４）
この前の（　）は必ず９の倍数になるよね。ということは２＋３＋４が９の倍数なら２３４は９の倍数ということだよね。
S：各位の数を足して９の倍数になれば、その数は９の倍数ということだね。だから、隠した数字も予想できるんだ。わかった。よーし、みんなにやって驚かしてやろう。

参考文献　「知って得する生活数学」ブルーバックス・関根鴻著

２、伊東家の食卓　「おみくじが必ず大吉になるうらわざ」

Ｔ：３日前に「伊東家の食卓」でやっていたんだけど。全て大安になるという「うらわざ」見た？（６／２５）
S：見てない。
S：見た見た。
Ｔ：このウラ技を使うと、みんなを思うままに動かすことができるんだ。これから図を描くよ。この図は５つに仕切られていて、おみくじになっている。このおみくじの上を自分で自由に動いても、最後に必ず大吉になるというマジックなんだ。最初は中吉からスタートするよ。（床に実際に描いて生徒を動かすか、ノートや黒板に描いて消しゴムなどで動かしてみる。）

Ｔ：動く方向は、右へ動こうが左へ動こうが君の自由。ただし、端へ来たらまた戻ること。
　 １、最初に４つ動いてください。
　 ２、好きなだけ動いてください。ただし、どれだけ動いたかは覚えておいてね。
　 ３、１回動いてください。
　 ４、さっき動いた回数だけ動いてください。
　 ５、最後に右へ２回動いてください。

S：ぼくは大吉や。あれ、全員大吉や。
Ｔ：おめでとう。きっと好い事があるよ。
S：もう一回やってみて。

S：やっぱり大吉になる。
S：自由に動いたはずなのに、どうして同じになるの？
Ｔ：不思議だね。では、そのわけを考えてみよう。

Ｔ：最初に４つ動くよね。その時どこへ行くの。
S：大凶と中吉と小吉。
Ｔ：凶や大吉には行かないよね。では、凶や大吉に行くときはどういう時？
S：わかった。奇数のときに凶と大吉だ。
S：そうすると偶数のときは、必ず左の図の色のついたところへ行く。
S：つまり、偶数か奇数で行くところが決まっているんだ。
S：でも、２回目に好きなだけ動いてがあったよ。奇数を選んだ人もいるよ。
S：それを２回繰り返したでしょ。だから必ず偶数になるよ。
S：そして、３回目に１動くから必ず「凶」か「大吉」になる。
S：最後に右へ２回動けば、凶は大吉に、大吉は小吉で突き当たって大吉に戻る。そして、全員大吉になる。
S：なーんだ。そういうことか。

Ｔ：ところで、こういうように自分が自由に選んでいると思っているのに、知らぬ間に思うがままに動かされているということはない？自分の自由意思だと思っていたのに、実はそうではなかったということはけっこう多いのですよ。
S：物を買わされるときなんかそんな気がする。
S：もっと、大事なことでそういうことってない。

３、面積消滅マジック　　面積は変わらないはずなのに！

Ｔ：さて次は、この長方形の面積が変わるというマジック。タネも仕掛けもない。
（そう言いながら、黒板に大きな直角三角形を張る。）

この直角三角形がベース。ここにやはり直角三角形AとBを二つ付け加える。そして、この足りないところは長方形で埋める。そうすると一つの長方形になる。ちなみに面積は？
S：横が１３で、縦が５だから、１３×５で６５。

Ｔ：さて、ここからがマジック！　この小さい直角三角形AとBを入れ替える。
（入れ替えてから、長方形をおもむろに入れる。）
すると！さて不思議！こんなところにすき間ができる。
S：えーっ！

Ｔ：ここにすき間１ができるだろ。さっきは６５だったから、１を足して６６になった。
S：ということは、面積が大きくなったんだ。
S：どうして？
S：最初の長方形の面積は６５。下のも、縦横は変わらないから、やっぱり１３×５＝６５だよ。面積は変わっていないはずだよ。
S：もう一回やってみて。
　　（もう一度やる。）
S：確かにすきまができている。
Ｔ：最初の長方形の面積は、６５で、後の方も同じはずなのに、どうしてすきまができるの？
S：不思議やなぁ。
・・・・
S：わかった！
S：どうして？
S：傾きが違うんだ！大きな直角三角形の傾きは５／１３，Aは３／８＝，Bは２／５だからみんな傾きが違うよ。
Ｔ：よくわかったね。これを少数にすると，５／１３＝０．３８４６。 ３／８＝０．３７５。 ２／５＝０．４となり，ほんの少しだけど違うんだ。だから，大きな三角形の斜辺とＡの斜辺とＢの斜辺の間に少し隙間ができるんだ。
S：つまり，この３つの斜辺が作る三角形の面積がこの隙間の分というわけですね。

４、フィボナッチ数列がこんな所にある！

Ｔ：ところで，さっきの傾きの数を見て何か気がつきませんか？
S：あっ！これフィボナッチ数だ！
Ｔ：そうです。このマジックはフィボナッチ数列の性質を利用してあるんです。
フィボナッチ数列の隣り合う項の比は、1.618…の黄金分割にどんどん近づいていきます。
この黄金分割をφとすると，
1 　1　2　3　5　8　 13　21 34
―,―,―,―,―, ―, ―, ―,―・・・＝0.381…＝１−１／φ　となります。
2 　3　5　8 13　21　34　55 89
証明　　　　　　　(Ｆn)＝(Ｆn-1)＋(Fn-2)　　両辺を(Ｆn)でわります。
　 　１−(Ｆn-1)／(Ｆn)＝(Fn-2)／(Ｆn)　　　一方(Ｆn-1)／(Ｆn)の極限は１／φ
　　　　　　 １−１／φ＝(Fn-2)／(Ｆn)

この0.381…が，さっきの傾きなんですよね。だから(Fn-2)／(Ｆn)は，よく似た数になるんです。
まずこの図を見てください。これは縦５，横１３の長方形です。対角線を引くとよくわかると思います。
S：２／５の所でずれている。
S：しかも，この長方形は左が３×５＝１５，右が２×８＝１６で１個違いだ。だから，面積が減ったように見えたのか。
Ｔ：三角形の傾きが良く似ているから，つい相似だと勘違いしてしまうことと，この長方形が一つ違いだということを利用して作ったマジックなんですね。
S：そうすると，５と１３をもっと大きくした８と２１でも同じ様なことが言えるんじゃない。
Ｔ：なるほど。ではさっそくやってみようか。
S：今度も一つ違いの長方形になるよ。さっきのは左側が一つ足りなかったけど，今度は右側が一つ足りない。
S：ということは，フィボナッチ数列の隣り合う項の積とその外側の項の積の差は１であるということかな。
１×２＝２　　　：１×３＝３
２×３＝６　　　：１×５＝５
３×５＝１５　　：２×８＝１６
５×８＝４０　　：３×１３＝３９
８×１３＝１０４：５×２１＝１０５
S：本当だ。
Ｔ：さっきのように，右の長方形を２つに分けて左の長方形にできないかな。
S：３つならできたけど。
Ｔ：とすると，面積が一つ違いの長方形を二つに分けてもう一方の長方形に変えることができる形というのも，もう一つのマジックですね。
S：これらは一つ置きのフィボナッチ数を使っているけど，隣同士のフィボナッチ数の長方形ではだめなの。
S：やってみよう。５と８で・・・やっぱり一つ違いの長方形になる。今度は一つは正方形になるけど一緒だ。
S：ということは，
１×２＝２　　：１×１＝１
１×３＝３　　：２×２＝４
２×５＝１０　：３×３＝９
３×８＝２４　：５×５＝２５
５×１３＝６５：８×８＝６４
ちゃんと一つ違いになっている。

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