「極と極線」入門
― 定義を広げる 接線から極線へ ―
１，接線から極線へ
T：この楕円に接線を引きます。まずＰを動かしてみましょう。
S：動かしていても何も見えてきません。
S：でも、二つの接点の間に何か関係がありそうな気がする。接点を結んでみよう。
T：この線を引くと見えてくるモノがありますね。この線をＰの極線といいます。
S：どうして極線というのですか？
T：Ｐを極と言います。その極の作る線だから極線です。
S：Ｐが外にある時は接線が引けるけど、図の中に入ると接線は無くなるから極線も無いのでしょうか？
T：それが今日の学習の大事な課題です。そのポイントは「定義を広げること」です。つまり、Ｐが楕円の内部に入った時も極線を定義できないかということです。
S：Ｐは直線上に置いてある。もう一つ別の点Ｈから接線を引くと・・・
S：弦（極線）の交点は動かないよ。この点Ｋの意味は何だろう？
S：もしかしたら、このＫの極線がこの直線なのかな。
S：逆に考えると、Ｋを通る弦の接線の交点はこの直線上にある。
S：「Ｐを通る弦」ってどういう意味ですか？
T：Ｐを通る弦は無数にあります。Ｑを動かすと弦ＱＲが動きます。そして、ＱとＲの接線を作図すると・・・不思議な現象が出てくるのです。
S：あれ、二つの接線の交点Ｓは極線の上にありますよ。どうしてだろう？
T：不思議ですね。証明してみましょう。
ただ楕円では難しいので円でやります。この楕円の焦点を近づけて円にしてみましょう。ピッタリでなくてもいいですよ。
そして円の中心ＯからＰＱに垂線を引きます。
その垂線と極線ＤＥとの交点をＳ'とします。ＯＰとＤＥとの交点をＴ、ＯＳ'とＰＱとの交点をＴ'とします。
S：このＳ'とＳが一致すればいいんだ。
S：∠Ｔ＝∠Ｔ'＝∠Ｒだから円が描ける。
T：すると・・・
S：△ＯＴ'Ｐ∽△ＯＴＳ'だ。相似比を求めるとＯＰ：ＯＴ'＝ＯＳ'：ＯＴ。
S：つまり、ＯＰ・ＯＴ＝ＯＴ'・ＯＳ'＝ｒ2＝ＯＱ2。ということは、ＯＴ'：ＯＱ＝ＯＱ：ＯＳ'。
S：よって△ＯＱＴ'∽△ＯＳ'Ｑだから（一角と比が相等）、∠ＯＱＳ'＝∠ＯＴ'Ｑ＝∠Ｒ。
S：つまりＱＳ'はＱの接線だから、ＳとＳ′は一致する。
T：この定理の逆をポンスレの定理と言います。
「円Ｏに関するＰの極線をＡＢとするとき、ＡＢ上の一点Ｐ'の極線はＰを通る」とても大事な定理です。
⇒【ポンスレの定理】
S：円だと接線の性質からから直角になるのでＰを通るんだ。でも円では成り立つことはわかったけど、これは楕円ですよ。
T：円で成り立った図をスライドにして斜めの壁に映します。どんな図になるでしょうか？
S：形は変わるけど直線は直線になる。位置関係は変わらないな。そして円は楕円になります。
S：つまり楕円でも成り立つわけだ。Ｓの極線はＰを通る。
２，極線をどう定義するか
T：さて、今度はＧを動かして、Ｐを楕円の中に入れてみよう。
S：接線は消えますね。でも、弦は引くことができるし、ＱとＲの接線は引けます。
S：Ｄを動かすと、この接線の交点の軌跡は直線を描く。でもこの直線をどうやって作図したらいいの？
T：Ｐの極線の作図の仕方は上のアイコンの４番目（垂線）をクリックして６番目（極線）を選び、Ｐをクリックしてから楕円をクリックすれば作図できます。
S：なんだ簡単に作図できるんじゃない。どうして早く教えてくれなかったの。
S：これで楕円の中に極がある時の極線が定義できる。「極Ｐから楕円に弦を引いて、ＱとＲの接線の交点の作る線が極線。」
T：さっきＫの極線がＦＧになるんじゃないかと言っていたけど、その通りなんですね。
S：今までの事から「極が外部にあれば接点を結んだ線」。「内部にあればＰを通る弦の接線の交点の作る線」。
S：それに、ポンスレの定理により、「極線上の点の極線は元の極を通る」＝「極の弦の作る接線は極線を作る」。
３，極線の性質
T：今度は極線の性質を調べてみましょう。大事な性質の一つに内分・外分の関係があります。
S：この図でEG：GF＝ED：DFということですね。
T：この関係は次の式で表すと便利です。$\frac{ＥＧ}{ＧＦ}$・$\frac{ＦＤ}{ＤＥ}$＝１
S：極と極線は図形を内分と外分に分けるんですね。
T：この図のＪの意味については【三角形の極と極線への誘い】へ
４，極線の面白さ
T：放物線でも極線を考えることができます。Ｆが焦点でＣＤは準線です。
S：準線というのは焦点の極線なんですね。
S：準線上の点からの接線は直角じゃない？
・・・
S：直角三角形の斜辺が準線で二等分されていますね。
GeoGebraでさらに深く調べてみましょう。
【円の極と極線】
【円に外接する多角形の極と極線 】
【極と極線が示す円と三角形・四角形・六角形の対称性】
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