「てんびん３進法」の研究

―　てんびんの錘の数と硬貨の数　―

　ＴＶ番組「テストの花道」を見ていたら次の問題が出てきた。

　【問題】　「上皿天秤で、1g から 40g まで、1g きざみで量りたい。
　　　　　　　そのためには、何g の分銅が必要なのか？」

　　　　　もちろん 1g から 40g までの分銅がすべてあれば量ることはできる。
　　　　　しかし、ここで条件が2つ。

　　　　　　・使う分銅の数をできる限り少なく
　　　　　　・同じ重さの分銅を2個以上使うのは禁止　　

　これと同じようの問題があったな、確か２進法だとできたはずだから、
　２^０＝１，２^１＝２，２^２＝４，２^３＝８・・・
つまり、１，２，４，８，１６，３２ｇの６種類だ。

と考えていたら、もっと少なくできるという。

それは、てんびんの両方の皿を利用する。
　１＋３＋ｘ＝９　というようにｘを出す。和だけでなく差でもＯＫというのだ。

そこで再考。

　1
　2=3-1
　3
　4=3+1
　5=9-3-1=9-4
　6=9-3
　7=9+1-3=9-2
　8=9-1
　9
　10=9+1
　11=9+3-1=9+2
　12=9+3
　13=9+3+1=9+4
　14=27-(1+3+9)=27-13
　15=27-(3+9)=27-12
　16=27-11
　17=27-10
　18=27-9
　19=27-8
　　…
　各数の表現方法は
　一通りしかない
　　　

１と３で２も出る。３－１＝２
次は５だけど、これを差で求めると、４＋５＝９あれば大丈夫。
同様に１＋３＋９＝１３の次の１４は、１３＋１４＝２７。
つまり、１，３，９，２７ｇの４種類で４０ｇまで出せると気がついた。

これって、３^０＝１，３^１＝３，３^２＝９，３^３＝２７・・・だ。
３進法が２進法よりも少なくて済むということか。
そんなはずはない・・・。なぜだろうか？

課題　【なぜ３進法が２進法よりも少なくて済むのだろうか？】

(1)先ず、２進法から調べてみよう。
　１，１０，１１，１００，１０１，１１０，１１１，１０００・・・だから
　１，　２，　３，　　４，　　５，　　６，　　７，　　　８

１，２，４，８，１６，３２ｇの錘だと、６３ｇまでの全ての重さを測ることができる。

(2)では、３進法だとどうだろうか。
　１，２，１０，１１，１２，２０，２１，２２，１００，１０１，１０２，１１０，・・・
　１，２，　３，　４，　５，　６，　７，　８，　　９，　１０，　１１，　１２

１，３だけではダメで、２が必要。
だから、１，３，９，２７ｇだけでは求められない。
１，１，３，３，９，９，２７，２７ｇでないとだめだ。
つまり、同じ数が２個ずつ必要だ。

(3)４進法だと、
　１，１，１，４，４，４，１６，１６，１６・・・
と３個ずつ必要となる。

でも、これらはてんびんの片方だけに乗せる場合。
そこで、３進法を見ると、２個ずつ必要だが、
　－２７，－９，－３，－１，１，３，９，２７
と考えたら、加法だけで４０までの数を全て表わすことができる。
つまり、これはてんびんの逆の皿に載せることにあたり、結局４種類で済むことになる。
もちろん４進法ではこの考え方は使えない。

なるほどそういうことだったのか。
数って不思議だな。

課題　【３進法を硬貨や札にしたらどうなるのだろうか？】

このことをお金にあてはめてみたらどうなるのだろうか。

(1)「１０００円までの全ての金額を払うことができる硬貨の一番少ない個数は？」

という問題ならば、２進法を使って、
１，２，４，８，１６，３２，６４の７種類のコインで１２７円までの全ての金額を払うことができる。
でも、
１円硬貨、２円硬貨、４円硬貨、８円硬貨、１６円硬貨、３２円硬貨、６４円硬貨、１２８円硬貨、２５６円硬貨、５１２円硬貨・・・
と作らなければならない。

実際のお金の種類は、
１円硬貨、５円硬貨、１０円硬貨、５０円硬貨、１００円硬貨、５００円硬貨、１０００円札、５０００円札、１００００円札
の９種類。これは１０倍（５×１０＝５０）ずつになっている。
でも、おつりがだんだんたまってきて、財布の中が硬貨だらけになるという経験をした人は多いだろう。
１０００円までの全ての金額を出すためには、
１円硬貨４枚、５円硬貨、１０円硬貨４枚、５０円硬貨、１００円硬貨４枚、５００円硬貨
の１５枚が必要だ。硬貨がたまるはずだ。
もっと硬貨の数を少なくできないものだろうか。

２進法の硬貨の数は少なくなるけど、種類があまりにも多くなるのが欠点である。
そこで、上のてんびんの考え方を使ってみよう。

(2)「お釣りも含めて１０００円までの全ての金額を払うことができる硬貨の一番少ない個数は？」

お釣りも含めてできるだけ少ないコイン・札の種類の数を求めることになるので、てんびんの３進法を使えば良い。
これは、本当は各種類の硬貨について２個ずつ必要なのを、店側に１個ずつ持ってもらうことにあたる。
考えてみれば、買い物は金額を出す方とおつりを出す方の共同作業なので、両方ができるだけ少ないコインの方が効率が良い。
ちなみに、
１円硬貨、３円硬貨、９円硬貨、２７円硬貨、８１円硬貨、２４３円硬貨、７２９円硬貨、２１８７円札、６５６１円札、１９６８３円札
の１０種類になる。（１０００円までなら７２９円硬貨までの７種類）
例えば、７円を出す時は、１＋９円を出して、３円おつりをもらえば良い。
計算が大変だが、このようなコインだと常に考えなくてはならないので、脳が活性化される。

こんな効率の良いコインを作る国がないだろうか。
きっと数学が得意な国民ばかりなると思う。
しかし、２０００円札がいつの間にやら消えてしまったように、１０進記数法は強力だ。
１０や１００は何も特別な数ではないのに、特別な数のように思い込んでいる。
結局、硬貨・札も１０進記数法に対応させた方が混乱しないのだろう。

　数学的帰納法を使って天秤の錘が３^ｋになることを示す。
　新しい錘を作り出す方法は２倍して１を足すこと。
　　２(１＋３＋９＋…＋３^k)+1・・・(1)
　　一方、１＋３＋９＋…＋３^k＝Ｓ_kとすれば、
　　３Ｓ_k＝３＋９＋…＋３^k＋３^k+1
　－）Ｓ_k＝１＋３＋９＋…＋３^k
　　２Ｓ_k＝３^k+1－１
　よって、Ｓ_k＝（３^k+1－１）／２
　(1)にあてはめると、
　２（３^k+1－１）／２＋１＝３^k+1
　となり、３^kまで成り立っているならば、次の錘は３^k+1になる。

３９、パズルから数学へ、数学からパズルへ「ユーロのお金の種類」

課題　【「てんびん３進法」の演算を考えてみよう】

ここでやめようと思っていたが、【マイナス２進法】で演算を考えたことを思い出してしまったら、やめられなくなってしまった。
この３進数は、てんびんの反対側に乗せる方をマイナスで表わすと次のようになる。

十進法	９	３	１
１			１
２		１	－１
３		１	０
４		１	１
５	１	－１	－１
６	１	－１	０
７	１	－１	１
８	１	０	－１
９	１	０	０

ここで、マイナス１をローマ数字Ⅰで表わすと数になる。マイナス符号を使わなくても負の数が表わせることに注目。この記数法を「てんびん３進法」と名づけよう。３進法と同じで３個の数を使うが、「３進法」で２の入っている数に対応する「てんびん３進法」は補数のようになっている所が違う。十進法　３³３²３¹３⁰　　３進法　－３　　　　Ⅰ０　　－１０　－２　　　　Ⅰ１　　　－２　－１　　　　Ⅰ０　　　－１　　０　　　　　０　　　　０　　１　　　　　１　　　　１　　２　　　　１Ⅰ　　　　２　　３　　　　１０　　　１０　　４　　　　１１　　　１１　　５　　　１ⅠⅠ　　　１２　　６　　　１Ⅰ０　　　２０　　７　　　１Ⅰ１　　　２１　　８　　　１０Ⅰ　　　２２　　９　　　１００　　１００　１０　　　１０１　　１０１　１１　　　１１Ⅰ　　１０２　１２　　　１１０　　１１０　１３　　　１１１　　１１１　１４　　１ⅠⅠⅠ　　１１２　１５　　１ⅠⅠ０　　１２０　１６　　１ⅠⅠ１　　１２１　１７　　１Ⅰ０Ⅰ　　１２２　１８　　１Ⅰ００　　２００　・・・　２７　　１０００　１０００次は、足し算を定義してみよう。１＋１＝１Ⅰだが、これはどの桁でも当てはまるのか確かめてみよう。もちろん１＋Ⅰ＝０。１１(４)＋１１(４)＝１Ⅰ＋１Ⅰ０＝１０Ⅰ(８)となる。どうやらＯＫだ。とすると演算の規則は次のようになる。　＋｜　Ⅰ　　１　Ⅰ｜Ⅰ１　　０　１｜　０　１Ⅰ 　　１Ⅰ　　　１００　　　１１１　　　１ⅠⅠ 　＋１Ⅰ　　＋１００　　＋　　１　　＋１ⅠⅠ 　　 Ⅰ１　　１Ⅰ００　　１ⅠⅠⅠ　　　　Ⅰ１　１Ⅰ　　　　　　　　　　　　　　　　Ⅰ１　　１１　　　　　　　　　　　　　　１Ⅰ００　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１０１次は、かけ算の規則を見つけてみよう。足し算よりも自然に定義できる。　×｜Ⅰ　１　Ⅰ｜１　Ⅰ 　１｜Ⅰ　１　　　１ⅠⅠ　（５）　　×　１１　（４）　　　１ⅠⅠ 　＋１ⅠⅠ０　　１Ⅰ１Ⅰ　（２０）この演算は、マイナス２進法よりも簡単で、マイナスも表現できるし、応用も広そう。こうやってみると、いろいろな記数法があるものだ。 目次へもどる