二進法（０と１だけの世界）

０、数字は１０個しかないのにどうして全ての数を表すことができるの？

T：数字っていくつある？
S：そんなのいくつでもあるよ。
T：本当かな？
S：あっ、そうか。数字は１０個しかない。
S：たった１０個の数字でどんな大きな数でも表せるんだから不思議だね。
T：では、もし数字が０と１しかなかったら、どうなるだろう。
S：簡単でいいや。
S：でも、数えるときに困らない？
S：２はどうやって表せばいいんだ？
S：コンピュータは０と１しか知らないということを聞いたことがあるから、２も０と１で表せるんではないの？
S：１０個の数でどんな数でも表せるんだから２個だってできるよ。
S：じゃあ、どうやって２を表すの？
S：十は繰り上がるだろ。同じで、１の次は繰り上がって１０にすればいいんだ。
S：ということは、３は１１か。で、次の４は一の位も繰り上がり、十の位も繰り上がるから１００。
S：そして、１０１、１１０、１１１、１０００・・・となるわけか。

T：よく考えたね。さて、ここに変換ソフトがあるから、いろいろな数字を入れて確かめてみて。
≪ジオジェブラの表計算で変換する≫
T：このように、０と１だけで数を表す方法を二進法といい、表された数を二進数という。
S：ということは、今までの表し方は、１０進法ということか。
S：コンピュータはどうして二進法なの？
T：電気が流れている（ON）を１、流れていない（OFF）を０とするとONとOFFだけで表すには二進法が便利だからじゃない。S：ということは、豆電球を何個か並べておいて、それをON・OFFにするだけで数字を表せるということだね。
S：それは簡単だ。それにさ、計算も簡単だよ。

１、二進法の計算は簡単！

S：二進法の計算ってどうやってやるの？
S：１＋１＝繰り上がって１０だ。
S：１＋０＝１と０＋１＝１と１＋１＝１０さえわかれば後は簡単だよ。
S：例えば、１１００１＋１０００１＝１０１０１０か。
T：じゃ、１１１＋１１１＝？
S：１１１０だ。
T：この計算が正しいかどうか、さっきの変換ソフトで確かめてみよう。
S：まず、１１１を十進数に直すと７だから、７＋７で１４。
S：１４を二進数に直すと、１１１０になった。
T：ということは、この計算方法は正しいということだね。
S：十進法でやるよりもこっちのほうがはるかに簡単だよ。
S：だから、コンピュータは二進法で計算しているのか。
S：でも、桁数がめちゃくちゃ大きくなってしまうよ。
S：コンピュータは記憶容量が大きいから大丈夫だよ。

S：掛け算だって、１×１＝１で０×１＝０だからもっと簡単だ。
S：ということは、コンピュータは十進数を二進数に直して計算し、それをまた、十進数に直しているのかな。めんどくさいようだけど、かえって簡単かもしれない。

２、そもそも世界は０と１で出来ている

S：数が０と１で表せることはわかったけど、デジタルって０と１で表されているということでしょ。どうやって０と１で文字を表せるの？
S：そういえば、ＣＤやＤＶＤなんか０と１だけで表していると聞いたな。音や絵をどうやって０と１で表せるんだ？
T：まず文字だけど、それは数字を文字に当てるのさ。
S：数字を文字に当てはめたら、その数字は使えないじゃない。
T：おっと、数字（自然数）は無限にあることを忘れているよ。日本語の文字なんかせいぜい５１個だろ。漢字だって無限にあるわけじゃない。
S：でも、数字を５０００個も使ったら、その数字は使えないんでしょ。
T：だから、５００１を１とすれば全ての数を表すことができるよ。
S：５００２は２ということ？
S：計算は５００１＋５００２＝５００３だから３になるということか。
S：無限にあるということは便利なんだね。
S：文字はわかったけど、音や絵はどうするの？
T：音も数字で表すことができる。音色と高さと大きさの３組の数を使えばいいよ。絵は一点一点の色を決めればいい。色は赤黄青の三原色でできるよ。このパソコンのディスプレーを３０倍の顕微鏡で見ると３つの色に分かれていることがわかる。
S：そうやっていくと、どんなことでも０と１で作ることができるということですね。
T：もっともそれは、コンピュータの中だけだね。

３、片手でいくつまで数えられる？

T：片手を折り曲げていくつまで数えられる？
S：片手だったら５つまでに決まっているよ。
T：実はもっとたくさん数えることができるんですよ。

S：二進法を使うんですね。
T：最初に指を折り曲げるている。右手の親指を立てて１とする。次の２は、二進法では１０だから、指では？
S：人差し指を立てて親指を折る。
S：そうか。そうすると、３は親指を立てる。
S：４は中指だけ立てて、後は折るんだ。
S：こうやって数えれば、５・６・７・・・
S：３１まで数えれる。
T：二進法で１１１１１だから、これを十進数に直すと・・・

S：さっきの変換ソフトを使えば求められるけど、計算で出せないの？
T：２^４＋２^３＋２^２＋２＋１＝１６＋８＋４＋２＋１＝３１で求められるよ。
S：ソフトもこうやって計算しているんだね。

４、二進法でそろえる

T：左の図のように数の上に穴を造る。次に、それぞれ数ヶ所この穴を切る。
どういう法則で穴を切っているかわかるかい？
S：二進法でしょ。
S：きっているのが１で、切ってないのが０だ。
S：さっきの指で数えるのと同じだよ。
T：このように１５までの数のカードが作ってある。このカードを順番がばらばらになるようにシャッフルする。さて、これを一切中を見ずにこの爪楊枝だけで１から順番に並べてみるよ。
S：穴を使うの？
T：そうです。この爪楊枝をまず一番右の穴に通す。そして持ち上げる。これを残ったカードの手前に持ってくる。次は２番目の穴に通す。そして持ち上げ同じように前にやる。こうやって順番に４回やっていくと・・・。（穴は５つ作ってあるけど５番目の穴は使ってない。）
S：本当だ。１から順番に並んでいる。
S：どうして？
T：１５のカードはどうなっている？
S：４つ穴が切ってある。
S：ということは、１５は一度も持ち上げられていない。
S：だから最後まで残るんだ。１は逆だね。
S：それでそろうのか。

「二進法で数を当てるパズル」

T：０から７までの数の中から１つ数を選んでください。
S：それを当てるの？
T：そうです。でも、質問をするよ。その質問はイエスかノーで答えるだけ。さて、最低何回質問すれば見つけられるか？
S：わかった。まず半分にする。こちらですかと聞けば、どちらにあるかわかる。次に４つの数を半分に分ける。残りは２個だからもう一回質問する。だから、３回かかる。
T：そうですね。８個の数字から１個の数を見つけるためには、質問が３回必要だ。では半分に分けるという方法以外にないだろうか？
S：３回以内に見つけられる方法があるの？
T：いやいや、必ず３回は必要だよ。まず、カードを３枚用意する。１枚目には［１３５７］。２枚目は［２３６７］。３枚目は［４５６７］。あなたの選んだ数は１枚目にありますか？
S：はい。
T：２枚目にありますか？
S：はい。
T：３枚目にありますか？
S：はい。
T：あなたの選んだ数は、最初の数を全部足して１＋２＋３＋４＝７ですね。
S：当たった。
S：全部にあるのが７だから当たり前だよ。
S：でも、例えば３を選んだとすると、１枚目と２枚目だから合計すると３だな。
S：どうして合計で求まるんだろう。
T：さっきの穴の開いたカードで考えてみよう。１３５７に共通するのは？
S：一番右の穴が切ってある。
S：２３６７は２番目の穴が切ってある。
S：ということは、４５６７は３番目の穴が切ってある。
S：そうか。わかったぞ。

参考文献
「初めて出会うコンピュータ科学１〜８」・岩波書店・徳田雄洋著

５、スケルトン電卓の秘密

S：電卓も二進法が使ってあるんでしょう。でも、外から見る限り二進法が使ってあるなんてわからないね。
T：この前、スケルトン電卓を手に入れたんだ。半透明になっていて少し配線がわかる。これを見ていて、気がついたことがあるんだ。
S：配線が二進法なの。
T：配線だけ見てもわからないな。でも、この数字のディスプレーを接続する配線を数えてみて。
S：線がプリントされて並んでいるね。
S：エート、線が２７本あるよ。
T：そうなんだ。この２７本というのが何か意味を持っているのか考えてみたんだ。
S：先生って暇人だねえ。
T：暇人は考えた。なぜ２７本なのか。
S：そういえば、ディスプレーの数字は８桁しか出ないよね。
T：そうなんだ。８桁と２７本をつなぐものは何か？
S：電卓は二進法で計算されているんでしょ。十進法で８桁は、二進法では何桁になるの？
T：いいところに気がついたね。二進法で１桁は１まで。２桁は２。３桁になるのは４から。４桁は８。５桁は？
S：８＝１０００だから９＝１００１，１０＝１０１０，１１＝１０１１・・・
S：そんなめんどくさいことをしなくてもいいよ。２の５乗＝１６だよ。
S：１６は二進法では８桁か。でも、このままいくと計算が大変だね。
T：そうですね。２の５乗でやっと２桁だからね。つまり二進法で５桁が十進法ではやっと２桁だ。でも、この計算で良いんだよ。２の１０乗ではどうか？
S：電卓がいるな。２×を押して、＝で２乗。また＝で３乗。＝を何回押せば８桁になるのかな。
S：オッ！２６回目でエラーが出た。
T：エラーが出たということは、８桁を越えたということだね。
S：でも、２７ではなく２６だよ。
T：最初に２を入れているから２の２７乗ですよ。
S：つまり、この配線は、二進法で２７桁の数を十進数に直して表示しているということか。
T：電卓に二進法が使われていることが少しわかったね。

６、列車のポイントとフィボナッチ数

T：９ゲージで鉄道模型を作る時、鉄道の操車場の配線で、同じ８本でもフィボナッチ数列（１、２、３、５、８）で線路を引いたのと、二進法で（１、２、４、８）で線路を引くのはどっちが便利だろうか？
S：操車場って、線路を切り替える所？
T：そうだよ。線路を切り替えるのにポイントを使うだろ。その操車場の配線について考えたことがあるんだ。問題は、線路が８本の時の連結の仕方が二進数のときと、フィボナッチ数ではどう違うか。
S：二進数の切り替えってどういうの？
T：それは、この図のようになる。

　　　　　　　　　　　　二進数のポイント
１　　　　　　　　　　 　　 　　　｜
２　　　　　　　　　 　　 　　１ ／＼０
　　　　　　　　　　　　　 　　／　　＼
　　　　　　　　　　　　　　 ／　　　　＼
　　　　　　　　　 　　　　／　　　　　　＼
４　　　　　　　　　 　１／＼０　　　　１／＼０
　　　　 　　 　 　 　 ／　　＼　　　　／　　＼
８　　 　 　　　 　１／＼０１／＼０１／＼０１／＼０
　　　　 　 　 　 　｜　｜　｜　｜　｜　｜　｜　｜
切替の回数 　　　　 ３　２　２　１　２　１　１　０　＝１２

S：じゃフィボナッチ数のポイントとは？

　　　　　　　　　　フィボナッチ数のポイント
１　　　　　　 　　　　　　　　　　｜
２　　　　　　 　　　 　　　　　０／＼１
　　　　　　　 　　　　　　　 　／　　＼
３　　　　　　 　　　 　　　０／＼１　　＼
　　　　　　　 　　　　　　 ／　　＼　　　＼
５　　　　　　 　　　　 ０／＼１　 ｜ 　１／＼０
　　　　　　　　　　　　／　 ｜　　｜　　｜ 　＼
８　　　　　　　　　０／＼1　｜　0／＼1　｜　1／＼０
　　　　　　　　　 　｜　｜　｜　｜　｜　｜　｜　｜
切替の回数　　　　　 ０　１　１　１　２　２　２　１　＝１０

(1)どちらもポイントの数は７ポイントで同じ。
(2)ポイントを切り替えるのを１、切り替えないのを０とすると、切り替える回数の合計は、
　二進数では１２回、フィボナッチ数では１０回と少なくなる。
(3)よって、下のようにフィボナッチ数で連結をした方が合理的。

T：つまりどの線路も同じ様に使うとすると、フィボナッチ数の方がポイントを切り替えるエネルギーが少なくて済むということなんだ。
S：同じように見えるのにどうして違いが出るんだろう。
T：「切り替える」と「切りかえない」をどれにするかで、違いがでるからなんだね。

７、木の枝わかれ

T：さっきのポイントを木の枝と考えると、どうなるだろうか。
S：木ということは、さっきの図を逆にすればいいんだな。
S：道や川に支流と本流があるように、木にも幹と枝があるよね。
T：そうすると、さっきの「ポイントを切り替える」を「枝を出す」と考えればどうなる。
S：二進法の枝分かれよりもフィボナッチ数の枝分かれの方が、あてはまっているのじゃないかな。
S：図を見ると、下の木の方が自然らしいよ。
S：私はどちらもありそうだと思うな。