連立方程式の解き方から行列の意味へ
− 表現することの意味 −
\[ \begin{eqnarray} \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 & \\ a_2x + b_2y = c_2 & \end{cases} \end{eqnarray} \]
この二元の連立方程式を解くとき、係数をそろえて引き算すると未知数が一つ消えます。
\[ a_1b_2x+b_1b_2y=c_1b_2 \qquad a_1a_2x+b_1a_2y=c_1a_2 \] \[ -)\, a_2b_1x+b_1b_2y=c_2b_1 \qquad -)\, a_2a_1x+b_2a_1y=c_2a_1 \] \[ (a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1 \qquad (a_2b_1-a_1b_2)y=c_1a_2-c_2a_1 \] \[ x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1} \qquad y=\frac{c_2a_1-c_1a_2}{a_1b_2-a_2b_1} \quad（符号を入れ変えて） \]
この計算はもっと未知数の数を増やすと項も増えていくので、式を書くことが大変になります。
この時、分母と分子を表す記号として、
\[ ad-bc= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \]
と約束すれば、覚えるのに都合が良く、式を簡潔に表すことができます。
つまり先ほどの式はこの様に表すことができるのです。
\[ x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1} =\frac{ \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \qquad y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1} =\frac{ \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \]
と表すと、文字の数が増えても同じように表せて便利でもあります。ａ１ ｂ１ ｃ１このｙとｚの係数をそろえるためにはｘの係数は必要ありません。
ａ２ ｂ２ ｃ２
ａ３ ｂ３ ｃ３
ｂ１ ｃ１ ・・・(1)(1)と(2)から
ｂ２ ｃ２ ・・・(2)
ｂ３ ｃ３ ・・・(3)
＋ｂ１ｂ２ ＋ｃ１ｂ２ ・・・(1)(2)と(3)から
−ｂ２ｂ１ −ｃ２ｂ１ ・・・(2)
＋ｂ２ｂ３ ＋ｃ２ｂ３ ・・・(2)(3)と(1)から
−ｂ３ｂ２ −ｃ３ｂ２ ・・・(3)
＋ｂ３ｂ１ ＋ｃ３ｂ１ ・・・(3)まとめると、
−ｂ１ｂ３ −ｃ１ｂ３ ・・・(1)
＋ｂ１ｂ２ ＋ｃ１ｂ２ ・・・(1)右の項（ｚの係数）も消去するためには、(1)(2)にｃ３を、(２)(3)にｃ１を、(3)(1)にｃ２をそれぞれかけます。
−ｂ２ｂ１ −ｃ２ｂ１ ・・・(2)
＋ｂ２ｂ３ ＋ｃ２ｂ３ ・・・(2)
−ｂ３ｂ２ −ｃ３ｂ２ ・・・(3)
＋ｂ３ｂ１ ＋ｃ３ｂ１ ・・・(3)
−ｂ１ｂ３ −ｃ１ｂ３ ・・・(1)
＋ｂ１ｂ２ｃ３ ＋ｃ１ｂ２ｃ３ ・・・(1) (1) ＋ｂ１ｂ２ｃ３ ＋ｃ１ｂ２ｃ３つまり、(1)にｂ２ｃ３と−ｂ３ｃ２、(2)にｂ３ｃ１と−ｂ１ｃ３、 (3)にｂ１ｃ２と−ｂ２ｃ１をそれぞれかけるとｙとｚが同時に消去できます。
−ｂ２ｂ１ｃ３ −ｃ２ｂ１ｃ３ ・・・(2) (1) −ｂ１ｂ３ｃ２ −ｃ１ｂ３ｃ２
＋ｂ２ｂ３ｃ１ ＋ｃ２ｂ３ｃ１ ・・・(2) ⇒ (2) ＋ｂ２ｂ３ｃ１ ＋ｃ２ｂ３ｃ１
−ｂ３ｂ２ｃ１ −ｃ３ｂ２ｃ１ ・・・(3) (2) −ｂ２ｂ１ｃ３ −ｃ２ｂ１ｃ３
＋ｂ３ｂ１ｃ２ ＋ｃ３ｂ１ｃ２ ・・・(3) (3) ＋ｂ３ｂ１ｃ２ ＋ｃ３ｂ１ｃ２
−ｂ１ｂ３ｃ２ −ｃ１ｂ３ｃ２ ・・・(1) (3) −ｂ３ｂ２ｃ１ −ｃ３ｂ２ｃ１