連立方程式の解き方から行列の意味へ

−　表現することの意味　−

１、連立一次方程式と行列式

\begin{eqnarray} \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 & \\ a_2x + b_2y = c_2 & \end{cases} \end{eqnarray} この連立方程式を解くとき、係数をそろえて引き算すると未知数が一つ消える。
　 ａ１ｂ２χ＋ｂ１ｂ２ｙ＝ｃ１ｂ２　　　　　　　　　　　 ａ２ａ１χ＋ｂ２ａ１ｙ＝ｃ２ａ１
−)ａ２ｂ１χ＋ｂ２ｂ１ｙ＝ｃ２ｂ１　　　　　　　　　　−)ａ１ａ２χ＋ｂ１ａ２ｙ＝ｃ１ａ２
　(ａ１ｂ２−ａ２ｂ１)χ＝ｃ１ｂ２−ｃ２ｂ１　　　　　　　(ａ１ｂ２−ａ２ｂ１)ｙ＝ｃ２ａ１−ｃ１ａ２
　 　 　　　　　　　　　　　　 　
この時、分母と分子を表す記号として、
　　 　　と約束すれば、覚えるのに都合が良い。同様に、
　　
　　 　　と表すと便利でもある。
さて、この結果を見ると、χとｙそれぞれ違う係数をかけて引いたのにχ，ｙの係数が同じ式
　　 　　になっている。
ということは、次のように表現できる。この時、行列は行と列を順番にかけ合わせ加えるという約束。



同じことが三元一次連立方程式でも言えるのだろうか？
この行列式を使って三元一次連立方程式の解を行列式で表すことを考えてみよう。 \begin{eqnarray} \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 & \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 & \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 & \end{cases} \end{eqnarray} この計算は係数だけの問題だから、形式的に計算することにする。
大事なのは係数のみ
　ａ１　　ｂ１　　ｃ１
　ａ２　　ｂ２　　ｃ２
　ａ３　　ｂ３　　ｃ３
このｙとｚの係数をそろえるためにはｘの係数は必要ない。
　ｂ１　　ｃ１　・・・(1)
　ｂ２　　ｃ２　・・・(2)
　ｂ３　　ｃ３　・・・(3)
(1)と(2)から
　＋ｂ１ｂ２　　＋ｃ１ｂ２　・・・(1)
　−ｂ２ｂ１　　−ｃ２ｂ１　・・・(2)
(2)と(3)から
　＋ｂ２ｂ３　　＋ｃ２ｂ３　・・・(2)
　−ｂ３ｂ２　　−ｃ３ｂ２　・・・(3)
(3)と(1)から
　＋ｂ３ｂ１　　＋ｃ３ｂ１　・・・(3)
　−ｂ１ｂ３　　−ｃ１ｂ３　・・・(1)
まとめると、
　＋ｂ１ｂ２　　＋ｃ１ｂ２　・・・(1)
　−ｂ２ｂ１　　−ｃ２ｂ１　・・・(2)
　＋ｂ２ｂ３　　＋ｃ２ｂ３　・・・(2)
　−ｂ３ｂ２　　−ｃ３ｂ２　・・・(3)
　＋ｂ３ｂ１　　＋ｃ３ｂ１　・・・(3)
　−ｂ１ｂ３　　−ｃ１ｂ３　・・・(1)
右の項（ｚの係数）も消去するためには、(1)(2)にｃ３を、(２)(3)にｃ１を、(3)(1)にｃ２をそれぞれかける。
すると、同じペアができてｚの係数も０になる。
　＋ｂ１ｂ２ｃ３　　＋ｃ１ｂ２ｃ３　・・・(1)　　　　　(1)　＋ｂ１ｂ２ｃ３　　＋ｃ１ｂ２ｃ３
　−ｂ２ｂ１ｃ３　　−ｃ２ｂ１ｃ３　・・・(2)　　　　　(1)　−ｂ１ｂ３ｃ２　　−ｃ１ｂ３ｃ２
　＋ｂ２ｂ３ｃ１　　＋ｃ２ｂ３ｃ１　・・・(2)　　⇒　　(2)　＋ｂ２ｂ３ｃ１　　＋ｃ２ｂ３ｃ１
　−ｂ３ｂ２ｃ１　　−ｃ３ｂ２ｃ１　・・・(3)　　　　　(2)　−ｂ２ｂ１ｃ３　　−ｃ２ｂ１ｃ３
　＋ｂ３ｂ１ｃ２　　＋ｃ３ｂ１ｃ２　・・・(3)　　　　　(3)　＋ｂ３ｂ１ｃ２　　＋ｃ３ｂ１ｃ２
　−ｂ１ｂ３ｃ２　　−ｃ１ｂ３ｃ２　・・・(1)　　　　　(3)　−ｂ３ｂ２ｃ１　　−ｃ３ｂ２ｃ１
つまり、(1)にｂ２ｃ３と−ｂ３ｃ２、(2)にｂ３ｃ１と−ｂ１ｃ３、 (3)にｂ１ｃ２と−ｂ２ｃ１をそれぞれかけるとｙとｚが同時に消去できる。
しかもこれらのかけ合わせる文字は行列式で表わされることがわかる。
このように形式的に計算することですっきりすると同時に、部分ではだめだが全体を見ると統一的な法則が見えてくる。
これは行列式を用いて次のように表わせる。

２、３元連立方程式を一発で解く方法

一発でｙとｚを消す方法がこれ。
「表に数字を入れて連立方程式を変えてみましょう。自動的に計算してくれます。」



消える理由は前に説明したが、それを行列式を用いてまとめたものがこれ。つまり、三元の行列式も見事に成り立つことがわかる。


３、連立方程式から行列へ

形式というのは表現であり、連立方程式はとてもきれいな対称性を持っているので、このように計算することができる。
さらに、この形式をもっと広げると、 ＡＸ＝Ｃ　のように、行列を用いて一次（形）式で表現することができる。
とすると、Ｘ＝Ｃ／Ａ　となり、連立一次方程式を「一次方程式」として捉えることができ、とてもすっきりする。

行列については、変換というはたらきと、数としてのはたらきの両方がある。・・・

この続きは、ジオジェブラ・ブック【行列の意味】へ


　　　　　目次へもどる