騎馬戦とランチェスターの法則
１、騎馬戦に勝つ方法
運動会で騎馬戦がありました。この騎馬戦は上に乗った騎手の帽子を奪うと勝ちです。練習の対戦を見ていたら、それぞれがバラバラに組み合って取り合いをしているだけ。中には特攻して自滅する騎馬もいます。さっそく作戦(戦略)を教えました。
T：騎馬戦で負けたね。勝つために何か作戦を考えている？
S：何も考えていません。
T：実は必ず勝てる作戦があるんだ。聞く？
S：はい。
T：作戦は簡単。１対１よりも２対１や３対１の方が有利だろ。だって、組み合っている後ろに回って帽子をとればすぐに取れたよ。そこで常に２〜３騎で行動するんだ。１騎だけの単独行動は絶対にするな。そして、小隊長を決めてその命令に従う。小隊長は相手の１騎だけのはぐれ騎馬を見つけて取り囲み、後ろに回った者がすばやく取るように指示を出すんだ。
S：なるほど。でも、人数が同じなんだから３対１には簡単にはなれません。
T：いや、相手が何も知らないと簡単に３対１になれるんだ。必ずはぐれ騎馬が出てくるから。昔から名将はこの作戦を使って戦に勝ってきたんだよ。これはランチェスターの法則という(紙に書いた数学の式を見せながら)数学の公式を使っている極めて合理的な作戦なんだ。
S：すげー。
T：戦いは人数の多い方が必ず有利でしょ。
S：でも、人数が多いと油断するよ。
S：織田信長だって今川義元の大軍に勝ったよ。
S：でも、あれは奇襲作戦でしょ。
T：奇襲だけど、大軍が細長くなる桶狭間に誘い込み、一番薄いところを一気につく。部分的には多数になっているんだ。全軍では2万5000を数えた今川軍も、本隊はそれほど大きな兵力をもっていなかったため、4000人が一団となって突撃してきた織田軍の猛攻によって混乱し、乱戦となってついには今川義元は討たれた。
S：そういえば、義経の戦術も奇襲作戦だよ。一ノ谷とか屋島とか。
S：奇襲作戦は、相手の弱いところをつくことで部分的に大軍(人数が多い)に持ち込んでいるんだ。そこで勝つと相手は混乱する。
T：ナポレオンの「各個撃破」作戦も同じなんだ。
1796年４月に行われた「ガルダ湖畔の各個撃破」 【参考サイト「戦史研究」】
[オーストリア軍 合計60000]
[オーストリア軍 合計60000]
20000 カ 25000 5000
↓ ル ↓ 山 ↓
↓ ダ ↓ 山山
↓ 湖 山山山
サロー
[ナポレオン軍30000]
カスチクリオーネ
マントバ要塞
[オーストリア軍10000]
オーストリア軍は、マントバ要塞に立てこもった１万のオーストリア将兵を救うため５万の兵力で南下し、ナポレオンの挟撃を計る。しかし、ナポレオンは敵の分断に乗じて各個撃破をもくろみ、まずサローに進撃し敵２万を撃破し、返す刀で後方に迫ってきた敵の主力をカスチグリーオ付近で撃破した。
S：つまり、敵の進路の集合地点に全軍を集結して待ち構え敵の分離に乗じて１つずつ攻撃しつねに優勢を保って戦い続けるということですね。
S：３対１だと３の方が必ず勝てると同じだね。しかも、強い軍隊だと３対２でも圧勝だ。
S：つまり、勝負は戦う前に３対１に持ち込めればいいわけですか。
T：そうなんだ。１対１では消耗戦だからね。
S：１対１だと互いに人数が減っていくだけで互角ですよね。
S：そういえば、騎馬戦でも残った騎馬は３：４とかもあるけど、０：５とかの場合も多いよ。
S：わかった。相手の人数が減れば、味方は有利になる。さらに人数が減ればもっと有利になる。
S：騎馬戦の場合ではどうなるのかシミュレーションをしてみよう。仮に騎馬数を５とするよ。
○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ● ●
２対１ではぐれ騎馬を一騎やっつけた。３対４で相手をけん制する。
○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ●
今度は、２対１で一騎をやっつける。その間、３対３で相手をけん制する。
○ ○ ○ ○ ○ ● ● ●
さらに、２対２でけん制しながら、３対１でやっつける。
○ ○ ○ ○ ○ ● ●
ここまでくると、２対１と３対１で相手を圧倒する。
S：へー。こうなると圧勝だよ。消耗戦にはならないんだね。
S：でも、実際はこんなにうまくいくはずがないよ。
T：ナポレオンは「あなたは、少数では多数に勝てないというけれど、実際には少数で多数の敵をしばしば破っているではないか。」と聞かれた時、「それはちがう、少数で多数と戦うときには、全兵力をあげてそれより兵力の少ない敵の一部を破り、つづいて敵の他の部分を攻めるなどして、戦闘場面では常にこちらのほうが多人数になるように指揮をしているのだ。」と答えている。
S：問題は、最初に味方の損害をなしにどうやって一騎をやっつけるかだね。
S：おとりを使うとか、敵の真ん中に分け入って分断するとかいろいろある。
T：ここからは個々の戦術だよ。
S：戦略と戦術はどう違うの？
２、ランチェスターの一次法則(線形法則)
T：これらのことを数学の公式で表したのがランチェスター。イギリスの航空工学のエンジニアであったF.W.Lanchester(1868〜1946)は、第一次世界大戦の空中戦をシュミレーションすることである法則を見つけた。この法則は、オペレ−ションズ・リサ−チ(ＯＲ)の理論として、軍事作戦や経営戦略などに利用されている。
S：騎馬戦を数学にできるの！？
T：さて、「ランチェスタ−の一次法則」をつくってみよう。
Ｘ軍とＹ軍が戦うとする。戦いの原則は君たちの騎馬戦と同じ一騎打ち。Ｙ軍の兵士のほうがＸ軍の兵士より強く(腕がいいのか、武器が優れているのかは問わない)Ｙ軍の兵士が１名戦死するごとにＥ名のＸ群兵士が戦死してゆきます。ある時間が経過した後、
Ｘ軍の人数をｘ
Ｙ軍の人数をｙ
とし、戦いが始まる前にはそれぞれｘ0、ｙ0の人数であったとすると、
それぞれの戦死者の数は？
S：Ｘ軍の戦死者の数＝(ｘ0−ｘ)人
Ｙ軍の戦死者の数＝(ｙ0−ｙ)人
T：さて、この二つの戦死者数の間にはどんな関係が成り立つだろうか。
S：Ｘ軍の戦死者数はＹ軍のＥ倍だったから、
ｘ0−ｘ＝Ｅ(ｙ0−ｙ)
T：これが「ランチェスタ−の一次法則」といわれる数学モデルです。
S：Ｘ軍の戦死者が２倍になったら、Ｙ軍の戦死者の数も２倍だね。
S：50人と30人が戦えば、戦闘力が同じならば生き残る数は50−30＝20ということか。
S：これは、１対１の場合でしょ。集団(チーム)になると違うよね。
３、日本海海戦(対馬海戦)
T：日露戦争の「日本海海戦」で、連合艦隊は丁字戦法を用いて先頭艦に砲撃を集中させる作戦にでた。丁字だと先頭の艦に集中させやすい。しかし、被害も多くなる。もちろんバルチック艦隊もそうした。ではなぜ、両艦隊は互いに相手の１艦に集中攻撃したのか?
S：これもシュミレーションで調べてみよう。
全く同一の性能の艦隊からなる白丸艦隊○と黒丸艦隊●が並んで撃ち合うことを考える。
白丸艦隊○は５隻、黒丸艦隊●は4隻が向かい合って、全部沈むまで戦闘が続いたとする。
１隻あたり２０発の被弾で沈没するとしよう。
(1) 白丸艦隊、黒丸艦隊ともに相手の全部へ攻撃する場合
１回目の攻撃で白軍の被弾は各隻4/5発 、 16回目の攻撃で白軍の被弾は各隻64/5発、
黒軍の被弾は各隻5/4 黒軍の被弾は各隻16×5／4＝20発だから全隻沈没
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
● ● ● ● × × × ×
S：当然の結果だよね。
S：私は、白丸艦隊も沈没する船があると思っていた。
T：そうなんだ。なぜなかったのかを考えてみよう。この場合、白丸艦隊が受けた被害は、4×16発で、黒丸艦隊は、5×16発。一隻あたりだと、4×16／5：5×16／4となる。この比に20をかけて約分すると、
4×16／5：5×16／4＝4×4×16：5×5×16＝42：52＝16：25≒4：6となる。
S：(敵に与える)被害の大きさは艦隊の数の２乗に比例するということ？
T：そうなんだ。もっと言えば、戦力(相手に与える被害の大きさ)は艦隊の数の２乗に比例する。だから、数の多い白丸艦隊の方が圧勝する。
S：被弾の数は相手の人数に比例するし、個々の被害は味方の人数に反比例する。だから、敵味方の比を取って約分すると、被害の大きさ(＝戦力)が相手の人数の二乗に比例するんだ。
T：これが、ランチェスターの２乗法則だよ。
S：じゃ、黒丸艦隊が勝つ場合はないの？
T：これがあるんだな。どういう作戦をとれば勝てると思う？
S：白丸艦隊は全部へ攻撃し、黒丸艦隊は１隻ずつ集中攻撃したらどう。
(2)白丸艦隊は全部へ攻撃し、黒丸艦隊は１隻ずつ集中攻撃する場合
１回目の攻撃で白軍の左端の１隻の被 ５回目の攻撃で白軍は１隻は沈没
弾は４発、黒軍の被弾は各隻5/4発 黒軍の被弾は各隻25/4発
○ ○ ○ ○ ○ × ○ ○ ○ ○
● ● ● ● ● ● ● ●
S：６回目はどうなるの？
S：黒軍の被弾数は一隻減ったから全体として25＋4＝29で、一隻あたり29／4≒7だ。白軍は次の５回で一隻減る。
10回目の攻撃で白軍は２隻目が沈没 25回目の攻撃で白軍は全隻沈没
黒軍の被弾は各隻45/4発 黒軍の被弾は各隻75/4発
× × ○ ○ ○ × × × × ×
● ● ● ● ● ● ● ●
S：へー。１隻に集中させただけで、少ない方が勝つんだね。
S：でも、黒軍はあと５発撃たれたら全艦沈没だよ。かろうじて勝ったんだ。
S：他の場合はどうなのかな。例えば両方とも一隻に集中させたら(1)の結果とどう違うんだろうか。
S：それから、どれくらいの戦力の差まで勝つのかも調べたいな。例えば６対４だとどうなるか。
･･･
S：まとめると、全隻へ均等に攻撃するのでなく１隻ずつ集中攻撃した方が良いことがわかった。
S：集中させるという点では、３対１に持ち込むのと同じだね。
S：それから、戦力(相手に与える被害の大きさ)は艦隊の数の２乗に比例する。
S：だから兵数は集中させた方がいい。
S：騎馬戦で、結果が３：４になる時は一騎打ちで、０：５になる時はチーム戦ということか。
T：もしｎ人の国民がバラバラならば、一人の戦力は１。だから、戦力はｎ×１＝ｎ。一方、軍の数をｍとすると、２乗法則で戦力はｍ2。したがって、ｍ2＝ｎとなり、国民の数が１億人ならｍ＝√１億＝１万人の軍隊で支配することが出来る。
S：なんで国民の戦力は１なの？ 【参考サイト「知識人のための海軍戦略」】
４、ランチェスターの二次法則(二乗法則)
T：この２乗法則を公式にしてみよう。さっき、艦隊戦力の比は艦隊数の２乗に比例するというのがあったでしょ。それを、被害があって兵数が変化する場合はどうなるのか公式で表すんだ。
S：チームだとどうして違ってくるの？
T：一対一だと余った兵は戦わない。でも、実際の戦闘では互いに敵方をめがけて銃を撃ちまくり、だれかが戦死したとしても敵方のだれが撃った弾が当たったのか見当もつかないだろ。さっきの艦隊の戦闘と同じさ。
S：空軍の援護だってあるしね。
T：さて、ｘ名のＸ軍とｙ名のＹ軍とが戦場で対面し戦っているとします。ただ、Ｙ軍の銃の方は性能が良く、Ｘ軍の銃のＥ倍もの弾を発射できるとしましょう。
戦いの最中のごく短い時間の間にＸ軍の人数はｄｘだけ減り、Ｙ軍の人数がｄｙだけ減ります。ｄｘはＹ軍から飛んでくる弾数に比例し、その弾数はＹ軍の人数のＥ倍に比例するから
(S：弾数が２倍になれば、減る人数も２倍になるということですか。違いないな…)
ｄｘ＝ｋＥｙ（ｋは比例定数）…(1)
また、ｄｙはＸ軍から飛んでくる弾数に比例し、その弾数はＸ軍の数に比例するので
ｄｙ＝ｋｘ…(2)（比例定数は同じ）
となります。ここで(2)を(1)で割ると
ｄｙ／ｄｘ＝ｘ／Ｅｙ （ｄｙ：ｄｘ＝ｘ：Ｅｙ…ごく短い時間の被害は相手の人数に比例する）
という変数分離形の微分方程式が現れます。これを
ｘｄｘ＝Ｅｙｄｙ
と変形して両辺を積分すると、(∫ｘｄｘ＝∫Ｅｙｄｙ＋Ｃ)
ｘ2＝Ｅｙ2＋Ｃ（Ｃは積分定数）…(3)
となります。戦いが始まる直前の両軍の人数をｘ0、ｙ0とすると
Ｃ＝ｘ02−Ｅｙ02
であることがわかりますから、この値を(3)に代入して整理すれば
ｘ02−ｘ2＝Ｅ(ｙ02−ｙ2)
という関係を得ます。この式が「ランチェスターの２次法則」です。
S：積分するのはどうして？
T：小さな変化の規則の「もとの法則」を見つけるために積分をするのです。
S：？
T：ごく短い時間の被害は相手の人数に比例するから、その被害を積み重ねたものを求めるために積分するんだ。
S：軍隊の実力が同じとき(E=1)、ｘ＝５でｙ＝３とすれば、ｘの生存数は４だ。
S：どうして？
S：ｙ＝０でｘ＝√(５2−３2)＝√16＝４だ。
S：これって三平方の定理と同じだよ。
T：例えば、戦いが始まるときの兵力はＸ軍が２００人、Ｙ軍が１００人とし、この兵力の差を補うためにＹ軍の兵士がＸ軍の兵士の２倍の実力を持つとしてみよう。
S：Ｙ軍は少数精鋭だということですね。
T：二つの軍が戦うとどうなるか？
S：２倍の実力を持つということは、２００人分にあたるわけだから、引き分けだよ。
T：そうだね。一次法則(一対一の戦い)によれば、戦闘開始ののち時間が経つにつれてＸ軍はＹ軍の２倍ずつ兵士を消耗してゆき、Ｘ軍とＹ軍が同時に全滅して戦いが終わる。ところが、二次法則を使うと…
S：2002−ｘ2＝２(1002−ｙ2)だから、ｘ＝√(2(10000＋ｙ2）)。
ｙ＝90とすると、ｘ＝√36299＝190だ。表にしてみよう。
ｙ：100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
ｘ：200 190 181 172 165 158 152 148 144 142 141
S：Ｙ軍が一定に減少しても、Ｘ軍の減少はだんだん少なくなっている。
S：Ｙ軍が全滅するまでのＸ軍の損失は５９人だ。
S：つまり、兵力の方が勝敗に決定的な影響をもつということだね。
S：最初の時点で、戦力比は2002：2×1002＝40000：20000＝2:1ということか。つまり2倍ではなく4倍の実力がないと対等の戦力にはならないんだ。
S：実力が同じで２倍差・３倍差だと結果はどうなるんだろう。
S：ｙ＝０の時、
２倍なら、ｘ＝１７３で味方の損害は２７人(13.5%)
３倍なら、ｘ＝２８３で味方の損害は１７人( 5.7%)だよ。
T：この公式の一番強烈な教訓は、兵士の数の優位がなににもまして勝敗に決定的な影響力を持つということです。したがって、敵に勝る兵力を一点に集中することが戦いに勝つ秘訣なのです。
S：でもさ、実際の戦闘では、兵士の数のほかに、指揮官の能力、兵士の練度、士気、兵器の性能、通信や補給などの支援能力、地形、天候、偶然などいくらでもあるよ。この公式の通りにいくのかな。
S：ゲリラ戦もあるし、「テロ戦争」だってある。
T：そうだね。でも、これらの要素はケ−ス・バイ・ケ−スでまさに千差万別。そこで、ランチェスターは数量としては把握しやすく、誰が考えても戦いの推移に大きく影響すると思われる人数だけを取り上げ、しかも、一騎打ちと乱打戦という２つの典型的な戦い方を想定して理論的に方程式を作った。そして、人数以外の要素を、Ｅという１文字を加えることによって現実に即したモデルを完成させたわけです。数学における「モデル化」とはこのようなものです｡
【参考サイト「ランチェスターの法則について」】
５、弱者が勝つ方法
S：でも、これだといつも人数が多い方、強い方が必ず勝つということですね。
S：いや、弱い方・人数の少ない方にも勝つ見込みがあるよ。この結果を逆に使えばいいんだ。局地戦に持ち込むことや一点集中は大原則だね。
S：大きな敵は分断して、各個撃破する。
S：勉強でも一点集中・各個撃破。教科を絞ったり、山をかけたり。
S：それから、一対一に持ち込む手もある。こちらに自信があったらだけど。
S：楠正成みたいに、堅固な要塞に篭城する。
S：味方をあちらこちらに造る。敵の敵は味方。
S：戦闘の形態を変える。ゲリラ戦みたいに。
T：何だかベトナム戦争を思い出してしまったよ。
S：でも、大きい敵がこういうことを知っていたら通用しないんじゃない。
S：大きいと小回りが利かないし、責任もはっきりしないことがあるから欠点もある。
S：ということは、弱者がたくさんいる場合はどうしたらいいの。
T：これが問題なんだな。こんな例がある。
「而して、武力なるものは艦船兵器のみにあらずして、之を活用する無形の実力にあり。百発百中の一砲能く百発一中の敵砲百門に対抗し得るを覚らば我等軍人は主として武力を形而上に求めざるべからず。…」
これは、東郷平八郎司令長官の「連合艦隊解散の訓示」の一部ですが、参謀長であった加藤友三郎はこれを聞いて，「百発一中の大砲の弾百発のうち１つでも百発百中の大砲一門に当たったら，それで戦は終わりだ。」と言ったと伝えられています。
S：そんなの当然でしょ。100門あれば、1発は当たるよ。
T：いや、当たる確率は100%ではなく63％ぐらいなんだ。当たる確率が1／100の大砲100門で相手方の１つの大砲を狙って一斉に発射すると、100発の弾のどれかが当たる確率は
当たる確率＝1−(100発の弾すべてが外れる確率)
＝1−(99／100)100
＝0.634…＝63.4%
S：(１発でも当たる確率)＋(全て外れる確率)＝１だからか。２回までに当たる確率も、同じように考えると求めることができますね。
S：(２回発射して当たる確率)＝１−(２回とも外れる確率)＝1−0.366×0.366＝0.866＝86.6%。３回だと1−0.3663＝0.951＝95.1%。［(97／98)98＝0.36599だから］
S：３回目までだと当たる確率はかなり高い。ということは、その間に2,3門やられても98,97門は残っている。
S：つまり、弱者でも数が多いということはそれだけで力があるということですか。
６、戦争と数学
S：戦争にも数学が使われているんだね。
S：こうやってモデルを作って戦略を考える数学があるということですね。
S：敵にどうやったら勝てるか、どうやったらやっつけられるか研究するなんていやだなあ。
S：でも、それは生き残るためには必要なんだよ。
S：こういうことを調べていると、実際も同じなのか実験したくならない？
S：こんなこと実験したら大変だよ。机上の空論ならまだいいけど、それを実行したらどうなるの。
S：それにさ、私たちは参謀や指揮官ではなく、下っぱの一兵士だよ。ＴＶゲームとは違うよ
S：そうだよな。騎馬戦でもぶつかり合ったら、めちゃくちゃになって作戦どころじゃないよ。
S：実際と理論とは違うということですね。
S：戦争は愛する人がいなくなったり、傷ついたりする。せっかく建てた家が壊される。自然だってめちゃくちゃになる。道徳だって人への思いやりだって破壊される。強いものが一番ということだから。
S：命を数字で表すと、その裏の様々なものが消えていくような気がするな。数学は想像力が大事だと言われるけど、一人一人の人生があるという想像力の方が大事じゃないかな。
S：じゃあ、ランチェスターの法則を戦争でなくビジネスにつかったらいいんじゃない。
S：ロールプレーイングゲームの戦闘場面は、この法則を使っているんじゃないかな。
S：ビジネスには使うには、品質やシェア数を兵力数に置き換えるんでしょ。社員の数を兵力としてもいいな。
S：モデル化というのは、結局いろんなことを単純にするんでしょ。一つ一つの裏にあるさまざまな出来事を無視して、人間を原子みたいにすることのような気がする。
T：数学を使うモデル化は、アトム化(一人一人を原子のように同じものとして考える)に通じるね。これは数学の長所でもあるけど欠点でもある。でもね、平和を追求するためには戦争も研究する必要があると思う。戦争を知ることが平和の研究でもあるんだ。だから、あくまで「何のために研究するのか」という目的をしっかりと持って研究することが大事だと思う。
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