干支（えと）の数学

「太陽と月――十二支と十干で時をとらえる」

(1)　年賀状の干支（えと）

Ｔ：年賀状を書く時になってきたね。来年の干支（えと）は何だったっけ？
S：今年が午（うま）だから、来年は未（ひつじ）でしょ。
Ｔ：よく知っているね。
S：子（ね）丑（うし）寅（とら）卯（う）辰（たつ）巳（み）午（うま）未（ひつじ）申（さつ）酉（とり）戌（いぬ）亥（い）。全部言えるよ。
S：１２年で一巡するんだよね。１２年毎に、繰り返されるということか。でも、どうして１２年なんだろう。
Ｔ：これを十二支というんだけど、１２という数にはいろいろな意味があるんだよね。
S：１年は１２ヶ月、半日は１２時間、１ダースは１２、１グロスは１２ダース、１２宮は星座。「１２」ってけっこう多いな。
S：冠位十二階っていうのもあったな。
Ｔ：いいところに気がついたね。実はこれらのことは全てつながっているんだ。
S：ところで、うちのおじいちゃん、来年は還暦だと言っていたよ。還暦って６０歳のことを言うんでしょ。どうして還暦って言うの。１２年で元へもどるんではないの。
Ｔ：６０年で一巡するから、元へ還るということで還暦というんですよ。
S：十二支以外にまだあるというの。
Ｔ：この十二支が５回繰り返すと還暦になる。

(2)　輪廻の思想

S：つまり、６０年経つとまた繰り返されるということですね。
S：６０年経つと生まれかわるということを聞いたよ。
S：それで、赤ちゃんに還るから、赤いちゃんちゃんこを着るのか。
S：ほんとうなの。
Ｔ：東洋では「輪廻の思想」というのがあって、物事は循環し繰り返しているという。そして、その繰り返しには周期がある。
S：太陽も朝昇って夕方沈む。１週間も繰り返すし、月の満ち欠けも繰り返すし、一年も繰り返しだ。
Ｔ：このように私たちの周りを見ると、ほとんどのものが繰り返している。ところが、繰り返さないものがある。
S：人間だ。赤ちゃんから少年、青年、中年、老年となって、繰り返さない。
S：そうか、木は秋になって枯れても、春になると芽が出ててくるけど、人間は死んでしまうもんね。
Ｔ：このことは人間にとって実に不安なことだった。そこで、でてきたのが、「輪廻の思想」。繰り返すのが自然なら、人間も繰り返すはずだという考え方ですね。人間も生き死にを繰り返していると考えるわけです。
S：一人の人間は死ぬけど、人類としてみると、生き死にを繰り返しているということですか。
S：「葉っぱのフレディ」みたいだね。
S：人間って死んだら、生まれ変わるのじゃないの。
Ｔ：そうだね。もしかしたら、別の生き物に生まれ変わるのかもしれないよ。
S：〜君はサルの生まれ変わりだろ。
S：人間は６０年で繰り返されるということなの。
Ｔ：昔はそんなに長生きができなかったから、６０年もあれば充分だったんだろうね。

(3)　１２周期「月（太陰）の原理」と６０周期「太陽の原理」

S：それで、１２というのはどこから出てきたの。
Ｔ：さっき、１年１２ヶ月を出した人がいたね。どうして、１年が１２ヶ月になったの。
S：１年で月の満ち欠けが１２回あるから、１２ヶ月ということを以前先生から教えてもらったよ。
S：だから１２で一巡するということになったのかな。
Ｔ：実はね、古代中国では、惑星のうちでもっとも尊い星と考えられていた木星が、約１２年で天球を一周することから、その位置を示すために天球を１２の区画に分けてそれぞれに名前を付けたものが十二支の名の由来といわれている。木星の運行からでた十二支だったけど、１２という数が１年の月の数にあたることから、月を表すことにも用いられるようになったんですよ。
S：そういえば、惑星って動くんだよね。でも、木星は１２年もかかって一周するのか。
Ｔ：つまり、１２周期は、木星が１２年で一周し、月が１年で１２回満ち欠けすることから大きな意味があると考えられてきた。つまり、１２は「月（太陰）の原理」から出てきたといえる。ところで、角度や時間は６０を単位にしているね。どうして６０を単位にしているのかな。
S：昔メソポタミアの人たちは、１年が３６０日と考えて一周を３６０度、それを半径で区切ると６等分できて、単位を６０度と決めた。
S：角度の単位って９０度ではないの。
Ｔ：そう思うのももっともだけど、実は６０度なんだ。円を描くと、半径でちょうど６等分できるだろ。さらにそれを半分の３０度にすると、１２が出てくる。９０度だと４倍で３６０度だから、半端なんだ。
S：知らなかった。
Ｔ：つまり、６０周期は「太陽の原理」から出てきたといえる。そして、そこから角度や時間が６０周期（６０進法）となってきた。
S：１分は６０秒とか、１時間は６０分はそこから来たんだね。でも、１日は６０時間ではなく２４時間だよ。どうして。
Ｔ：そうですね。これが不思議ですね。私も小学校の頃、変だなと思った。
S：でも、一日を６０時間にすると、細かすぎて大変だよ。
Ｔ：そうだね。
S：だから、一日を昼と夜に分けて、それぞれをさらに１２等分して時間を決めたんじゃない。
S：そうか、さっきの６等分をさらに半分ずつにして１２等分にしたと考えられるね。
S：６０を５ずつまとめれば、１２になるよ。
Ｔ：いいところを突いているね。太陽の原理が、一日では太陰（月）の原理と融合するんだな。都合の良いことに、３６０は１２でわるとちょうど３０となるし、６０は１２で割り切れるからね。

(4)　江戸時代の時刻

S：疑問があるんだ。江戸時代には時計がなかったんでしょう。どうやって時がわかったの？
Ｔ：いやいや、ちゃんと時計があったんですよ。徳川家康なんかすごい豪華な振り子とテンプと歯車で動く時計を持っていた。
S：でも、江戸の町民は時計なんか持っていなかったでしょう。
Ｔ：そうですね。幕府は町民にも時刻を知らせるために、太鼓や鐘を打って時を知らせたんだよ。
S：やっぱり一日２４時間だったの。
Ｔ：いや、一日１２時間ですよ。もっとも時間という単位はなかったけどね。
S：そういえば、「草木も眠る丑（うし）三つ時」っていうよ。「丑三つ時」って何時ごろなの。
Ｔ：左の表を見てください。丑の刻は今の午前１時から午前３時までの２時間をいう。そして、この丑の刻をさらに四等分した三刻目を三つといった。一刻は３０分なんだ。
S：丑の刻の三刻目だから、丑三つというのか。
S：今で言うと、午前２時半ごろだね。
S：幽霊が一番出やすい時刻ということか。
S：ところで、「お八つ」というのもこの時刻に関係があるんだよね。
Ｔ：そうです。時を知らせるのに太鼓や鐘を打つ回数で知らせた。
S：子の刻が１回太鼓を打つというようにですか。
Ｔ：子の刻は、９つ。丑は８つ。以下寅が７、卯が６、辰が５、巳が４、そして、午が元に戻って９つ。未が８、申が７、酉が６、戌が５、亥が４。
Ｔ：八つは未（ひつじ）だから午後１時から３時まで。
S：その頃、３時ごろにお菓子やお茶を食べたり飲んだりしたから、「もう八つだねえ。」ということで、それが「おやつ」になったんだね。
S：お江戸日本橋、七つ立ちとか、明け六つ、暮六つというのもあるね。
S：七つというのは寅の刻だから、午前四時ごろに出発したということか。
Ｔ：その他、正午、午前、午後など、今でも使われているよ。
S：この図を見ると、十二支は時刻だけでなく、方角にも使われていたんだね。

(5)　十干十二支だと１２０年じゃないの？

S：還暦って６０年でしょ。十二支に何を加えるの。
Ｔ：十干といって、「甲(こう)・乙(おつ)・丙(へい)・丁(てい)・戊(ぼ)・己(き)・庚(こう)・辛(しん)・壬(じん)・癸(き)」って知っているでしょう。
S：おじいちゃんが、通知表の成績が甲ばかりだったと自慢していたな。
Ｔ：それと、十二支の子(し)・丑(ちゅう)・寅(いん)・卯(ぼう)・辰(しん)・巳(し)・午(ご)・未(び)・申(しん)・酉(ゆう)・戌(じゅつ)・亥(がい)を組み合わせるんですよ。
S：でも、干支は１２と１０だから、下の図のように組み合わせは、１２×１０＝１２０になるのではないの？
　　　　　　　　　　　　　　　
十干　｜ 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
　 　子｜
　 　丑｜
十　寅｜　
　 　卯｜
二　辰｜　
　 　巳｜ 　　　　　１２×１０＝１２０
支　午｜
　 　未｜ 　
　 　申｜　
　 　酉｜ 　
　 　戌｜　
　 　亥｜
　
Ｔ：いい質問ですね。１２０のはずなのに、どうして６０なのかを調べてみましょう。次の表を見てください。これが、干支の年の順番なんですよ。年に順番をつけているのです。

甲子 甲戌
乙丑 乙亥
丙寅 丙子
丁卯 丁丑
戊辰　・
己巳　・
庚午　・
辛未　・
壬申
癸酉
S：あれ、甲丑がない。
S：そうか、表にするんではなくて、十干に十二支を順番に割り振っていったんだな。
S：こうやって割り振っていくと、ちょうど十二支が５巡目に元に戻るな。
S：だから、１２０年ではなくて、６０年なのか。
S：１０と１２の最小公倍数は６０だよね。
S：このような組み合わせ方だと、例えば８と１０なら、最小公倍数の４０通りの組み合わせができるわけですか。
T：そうです。表にすると、左のようになります。１０周期と１２周期を組み合わせたものですね。
S：最初が甲子だね。甲子園と関係があるのかな。
Ｔ：甲子園は甲子の年に作られたから、そう名づけられたんだよ。
S：辛亥革命とか壬申の乱っていうのもあったな。
S：戊辰戦争もあるよ。
Ｔ：このように年に、このような順番をつけたんだね。下の表を見てください。
S：表の順番とはだいぶ違うね。
Ｔ：この順だと、十干も十二支もどちらもちゃんと順番になっているんだ。
S：へー。昔の人は賢いな。

　　　　　　　十干十二支
　　　甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
　子   1     13      25     37     49
　丑 　    2　   14     26      38     50
　寅　51      3      15     27     39
　卯 　  52       4     16      28     40
　辰　41    53        5     17     29
　巳 　  42     54       6      18     30
　午　31    43      55       7     19
　未 　  32      44     56       8     20
　申　21    33      45     57       9
　酉 　  22      34     46     58     10
　戌　11    23      35     47      59
　亥 　  12      24     36     48     60

S：で、来年は何年なの？
Ｔ：今年が壬午（じんご・みずのえうま）だから、癸未（みずのとひつじ）だよ。年だけでなく、月や日にちもこれを使って数えていたんだよ。例えば、芥川龍之介は、辰年の、辰の月（３月）の、辰の日の、辰の刻に生まれたから、龍之介と名づけたという。

(6)１２進数が生まれたもう一つの理由

Ｔ：ところで、英語では数はどう数えるの。
S：one two three four five seven eight nine ten eleven twelve therteen fourteen fifteen
Ｔ：もし十進法なら、１１や１２がoneteen towteen になるはずなのにそうなっていないね。
S：もしかしたら、英語は１２進数なの。
Ｔ：そうなんです。だから英語でダース（１２）や、グロス（１４４＝１２×１２）を使うのです。
では、なぜ１２進数なのか。それは、古代ヨーロッパでは指は「４本」しかなかったからだ。
S：指は５本だよ。昔の人は４本しかなかったの。
Ｔ：古代ヨーロッパでは親指は指の仲間には入れなかったらしいのだ。実際に指を使って数えるときに親指は折らなかった。親指（thumb）は指（finger）ではないからね。
S：指は４本としても１２は出てこないでしょ。
Ｔ：ところが、この４本指の手が３つある。
S：３つあれば１２にはなるけど、手は３つもないよ。
S：数えるとき、両手で数えて８つ。右手を二回目使って１２というようにしたんじゃない。
S：１は人差し指を立てるでしょう。次は中指をたて、薬指、小指というように片手で４。もう片方の手の指を立てて８。次に立てた指を親指を使って、数えて１２になるよ。
Ｔ：なるほど、親指は数えるための指か。

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参考文献「授業を楽しくする数学の話」片野善一郎著・明治図書、「数学ウラ話」吉岡修一郎著・学生社、

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