%９　　　【エッシャーの絵】
　　　　　
　『蜂の巣はなぜ六角形か』

図　平面を隙間なくつめる

ここに同じ大きさの正方形があります。これをこのように並べると、平面を隙間なく覆う事ができます。
このように隙間なく覆うことができる正多角形は、正方形の他にどんなのがありますか。
・・正三角形、正五角形、正六角形。あれ、正五角形はだめか。

正七角形はどう。
・・１つの内角が、１２０度より大きいからちょうど３６０度にはならないから隙間ができます。

とすると、正八角形や正九角形は。
・・もちろんだめ。

それ以上の多角形も、だめですね。平面を覆うことができる正多角形は、正三角形と正方形と正六角形の３つしかないのだ。
・・３つしかないなんて、意外だなあ。

所で、ここに蜂の巣がある。蜂は何故、正三角形や正四角形を選ばずに、正六角形を選んだのだろうか。
・・六角形は丈夫だと思う。
・・三角形の方が丈夫だよ。
・・三角形の方が簡単なのに、なぜだろう。
・・蜂の幼虫は丸いから、円に近い方が住みごこちが良い。六角形が一番丸い。
・・四角形ではつぶれやすい。
・・三角形だと隙間ができてあまる。

それもあるが、まだ蜂に成りきっていないな。蜂は巣を作る時、どう作っていくと思う。
・・部屋を作るよ。
部屋を作る為には？
・・壁から作るよ。

まず一点を基にして、そこから壁を作っていく。壁を上と真下の２方向に作っていったとしよう。これだと、壁は一つで、部屋は作れない。次に正方形の部屋を作るとしよう。壁は幾つ必要。
・・９０度ずつに、四方に作っていけばよい。

壁を一定の長さだけ作ったら、９０度ずつ三方向に延ばしていけば良いね。
ところが、六角形ならどうだろう。
・・１２０度ずつでちょうど三方向に壁を延ばしていけばよい。

同じく、壁を一定の長さだけ延ばしたら、１２０度で、２方向に延ばしていけばいいね。では、三角形の部屋を作るとしよう。壁を幾つ作らなきゃいけないか。
・・６つだ。
・・壁が２つでは部屋にならない。３つが一番簡単に部屋が作れるわけか。
・・４つや６つは、作るのが大変だ。

つまり、蜂にとっては六角形が一番作りやすいわけだ。
・・なるほど、蜂って頭がいいんやなあ。

人間にとっては、六角形は辺も角も六つあって、三角形より複雑に見えるけど、蜂にとっては、六角形の方が三壁で、三角形の方が六壁で、三角形の方が複雑なんだよね。

　『平面をうめる』

今日は、この絵を勉強します。この絵を見て、おかしいと思うところがいくつか有るでしょう。幾つ見つかるかな。
・・１階の柱が互違いになっていておかしい。
・・２階の柱もおかしいです。
・・はしごが、中から外に掛っている。
・・二階のベランダの向きがおかしい。
・・腰掛けている人の持っている立方体がおかしい。
どうおかしいの？
・・こんな立方体はない。
・・これは、何の絵なの。変な絵だ。

この絵をかいた人はエッシャーといいます。みんなが感じるように、あまりにおかしな世界なので、牢に入っている人は気が狂っている。
次は、この絵を見てください。
・・Ｔ.Ｖの宣伝で見た事があるな。
・・何かおかしい所があるの？
・・滝が落ちているのに、その水が流れて、また滝になて落ちている。
・・？
・・まだ分からんの。

じゃ次の絵はどうですか。
・・これ、ワニ？

絵の題は、「爬虫動物」といいます。
・・紙に描かれたワニが、絵からぬけ出しまた紙の中に戻っていっている。
・・タバコをすっているよ。

この絵の、紙の中に注目して下さい。
・・正六角形の中にワニがかいてあります。
・・ワニは同じ形でぴったりと当てはまっています。

これは実に大変な事なんだよ。ここに切抜いたワニを何匹も作ってきている。これらのワニは皆同じ形をしている。そして、こうやって並べていくと、ぴたりとはまってしまうのだ。
・・どうやって作ったの。

蜂の巣のところでやったように、正六角形は平面を合同な形で隙間なく覆うことができる。この正六角形を利用して、ワニを作ったのだ。
・・それでもこのワニを作るの、そう簡単ではないよ。

　　参考文献　　『エッシャーの宇宙』ブルーノ･エルンスト著

六角形をひっくり返したり、「地」と「絵」の両方を見ながら少しずつかいていったんだと思うな。
エッシャーはこういう同じパターンのはめ込みの絵を、まだ他にも発明している。
「昼と夜」、「騎馬の人」、「メタモルフォーゼ」など。
・・鳥が夜の闇になっていったり、田んぼになっていっている。

　『平面を覆う合同な図形』

このように、平面を覆うことのできる合同な図形は、あとどんなものがあるだろうか。
・・長方形、直角三角形、二等辺三角形。
・・平行四辺形もいいみたい。

一般の三角形はどう。
・・二つを合せれば平行四辺形になるから、埋めつくせます。

では、一般の四角形はどうですか。
・・できないと思います。

実際に四角形を作ってやってみましょう。ここに合同な四角形があります。形は適当です。誰か並べてみませんか。
・・はい。長さを合せて、えーと。
・・あれ、角もぴったりだ。
・・できますねえ。なぜだろう。

これらの四角形の内角を○△□×で表わすと、ちょうどここに４つの角○△□×が集ることになります。○△□×は合せると何度ですか。
・・四角形の内角の和は３６０度だから、○△□×は３６０度になります。
・・なるほど。すると、どんな四角形でも合同なら平面を隙間なく埋めつくせるわけか。

参考文献　『数学教室』

　『三浦折り』

平面は、どんな合同な四角形でも隙間なくおおいつくすことができるわけだから、合同な平行四辺形を互違いに並べて、おおうことができる。それを、普通に折るように、半分の半分という様に折ると、平行四辺形がずれたように折り畳む事ができる。これが、その折った紙。
（開いて見せる。）
・・わー。アコーディオンみたいだ。

まるで形状記憶合金のような紙になる。
これを考えて特許を取った人がいるんだよ。その人の名前が三浦さんなので、この折り方を三浦折りという。これを使って儲けようと思ったら、特許料を払わなくちゃいけないよ。印刷しておいたから、山折りと谷折りに注意して、さあ折ってみよう。
・・これで、きちんと折たためるの。
・・難しいなあ。
・・できた！

この折り方は、面倒だけれど、便利でいい点がいくつかある。
(1)　何回開いたり折ったりしても、折目がいたみにくい。
(2)　簡単に開ける。一方を持ってワンタッチで開く事ができる。
(3)　もっと丈夫な紙で作れば、１ヵ所を動かすだけで連動して開く。つまり、形状記憶合金みたいに動く。
・・(1)(2)だと、地図に使うといいかもしれないね。　　　　　
・・帆とか、太陽電池のパネルに使えるかもしれない。　　　　　　

　参考文献　『科学朝日』

　　『空間を覆う正多面体』

図　正四面体の面の角度　　　７０．５２・・・°
図　正１２面体の面の角度
これはなんという図形かな。
・・ヨークが入っている入れ物じゃない。
・・面が４つあるから、４面体です。正四面体じゃないかな。そっちのは小さくってかわいい。

こちらは砂糖が入っている。では、これは？
・・ミョウバンの結晶だ。
・・面が８つあるから、８面体です。

ところで、ヨークの入れ物は、牛乳のパックと違って何故こういう形になっているんだろうか。
・・作り方が簡単じゃない。
・・どうやって作るのさ。
・・円筒を作っておいて、まず横に閉じて、次に９０度回転させて横に閉じれば、でき上がり。
・・なるほど。
・・積むとき簡単じゃない。
・・でも、立方体の方が隙間なく積めれるよ。
・・正四面体も隙間なく積めるんじゃないかな。

これは面白い問題だ。実際に積めるのかやってみよう。
・・工作をするんですか。

今配ったこれらの展開図は、正多面体地球儀です。これを全員で作り、合せて隙間なく積めるのかやってみよう。できた地球儀はお土産です。折り曲げる前に、コンパスと定規で線を引いておくと曲げやすいよ。
・・のりがうまく着かないな。
・・できた。

班の人のを集めて積んでみよう。
・・正四面体は５個で一回りするけど、ぴったりは合わないね。
・・正八面体は正四面体の隙間が少しできるよ。
・・正四面体と、正八面体とを合せれば、ぴったりと隙間なく積めます。
・・正十二面体は三個でうまく合うみたいだけど、ちょっと隙間ができるような気がします。
・・しゃぼんだまをいっぱい重ねると、正十二面体ができるけど正確じゃないんだね。
・・とすると、正多面体で空間を覆うことができるのは、正六面体だけなのか。

参考文献　『数学の広場』遠山啓著　ほるぷ、『ゲーデル、エッシャー、バッハ』D.R.ホフスタッター著、

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