%７　　 【本の話】

『計算機もブラックボックスだ』

　この計算機もブラックボックスの一つです。たとえば、２を入力します。そして、×と＝を押すと、４になります。さて、このキーはどんな働きをしているのか当ててみてください。
・・２倍する働き。

もしそうなら、３を入力すると？
・・６になる。あれ！　９だ。

では、４を入力すると？
・・１６です。

この×＝はどういう働きをしているの。
・・２回かける働き。
・・２乗する働き。
・・平方する働き。
・・正方形の１辺から面積を出す働き。
・・Ｙ＝χ×χ

次は、√というキーを調べます。このキーの働きを知っているかい。
・・知りません。
たとえば、４を入力して√を押すと出力は２になる。どういう働きをしている。
・・２で割る。
じゃ、９を入力すると、４．５ということ？　はい、√を押すと、残念でした。３です。
・・？
２５を入力すると？
・・５だ。
その通り。ところでどうやって計算したの。
・・解らない。
・・２乗して２５になる数を求めました。
では、この√の働きは。
・・２乗（平方）の反対の働き。
・・２回かけて１６になる数を出力する働き。
・・正方形の面積から１辺を出す働き。

この√の働きを平方根を求める働きといい、√のことをルートといいます。
では、２を入力して√を押すとどんな数が出力されますか。
・・えーと、１と２の間の数。
・・１．４１４２１３５６２だって。
・・２乗しても２にならないよ。１．９９９９９９９９８になっている。どうして？
（２を入力して、√を押す。
１．４１４２１３５６２と出てくるので、そのまま×＝を押す。
すると、１．９９９９９９９９８と出てくる。）

いい質問だなあ。どうしてなのか、考えてみよう。
・・ちょっと、小さかったんじゃないの。

では、１．４１４２１３５６３を２乗してみよう。
・・２．００００００００１になったよ。これでは大きすぎるんだ。
・・という事は、１．４１４２１３５６２・とまだ続くんだ。

どこまで続くの？
・・無限に続きます。

理由は言えますか。
・・もし、どこかで終わるとすると１か２か３か４か５か６か７か８か９のどれかのはず。これは２乗すると２にならなくてはいけないけど、１を２乗しても１、２を２乗しても４、３を２乗しても９、４を２乗しても６、５を２乗しても５、６を２乗しても６、７を２乗しても９、８を２乗しても４、９を２乗しても１は必ず残る。
だから、２乗しても２には決してならない。そうすると、
どこかで終わるということはないから、無限に続く少数になります。
・・すごい。

これを、２の平方根といい、少数で表わすと正確には表わせないので、√２で表わします。こういう数を無理数といいます。
・・３の平方根は√３なんですね。

　『√２がこんな所にある。』

・・√２って、何の役に立つんですか。
よくぞ聞いてくれました。ここに取りい出しましたる更紙には、√２がある。
・・見えませんよ。

では、これを半分に切ってみよう。どうですか、√２が見えましたか。
・・いっこうに。

では、１枚残して、もう一枚を半分にしてください。
また１枚残して、さらに半分にしてください。どんどんやっていくと、何か気がつきませんか。
・・みんな形が同じです。

どこから解りましたか。
・・並べると、相似です。

ここに、√２が隠されているのです。では、はっきりとしてみましょう。まず、この１番大きな長方形の縦の長さを１とします。横の長さはいくらになるでしょう。
まだわからないから、Ｘとおきます。相似だから比の値が同じということから、１：Ｘ＝Ｘ／２：１という比の式ができます。この式を解いてみて下さい。
・・Ｘ＝±√２になります。
・・つまり、横の長さは縦の長さの√２倍だったのか。

√２倍ならば、半分にしても必ず元の形と相似形になるのです。
・・それでは、本も√２倍になっているのかな。

　　『Ａ判とＢ判』
　
　本の大きさには、ＡとＢの二つの系列があります。Ａ列は、面積１�u、縦横の長さの比１：√２のＡ列０番を基本とし、順次のその長辺を半分にしていったもので、１番から１２番まであります。Ｂ列は、面積１．５�u、縦横の比を１：√２の０番を基本として、やはり１番から１２番まであります。自分の持っている本を調べてみて下さい。
・・ワークは、Ｂ５判です。
・・教科書は、Ａ５判です。
・・文庫判は、Ａ６判です。

この教科書とワークの間には、面白い関係があります。
・・相似以外にですか。

そう。この二つの本に長さが同じ所があるのです。
・・わかった。教科書の対角線の長さと、ワークの縦の長さが等しい。

では、教科書の横の長さを１とすると、縦の長さは？
・・√２です。

ピタゴラスの定理を使って、教科書の対角線の長さを出してみましょう。
・・１×１＋√２×√２＝３。したがって、√３です。

つまり、ワークの縦の長さは√３ということです。すると、
ワークと教科書の長さの比は？
・・√３：√２です。

面積の比は？
・・二乗して、３：２です。
・・ワークの方が１.５倍ということか。

所で、製本屋はなぜ、縦：横を１：√２にしたのでしょう。
・・半分にしても形が同じなら、紙を切った時に無駄なく使えるからだと思います。

『新書判と黄金比』

・・先生この本は１：√２とは違いますよ。

これは新書判ですね。新書判は違う考え方で、創ってあります。ところで、ここに長方形が６種類あります。どの長方形が、一番美しいと思いますか。
・・黄金分割の長方形：Ｂ判画用紙＝１７：８

この一番多かった長方形が、新書判と相似な長方形なのです。この新書判は、この長方形の縦を１辺とする正方形を作った時、残りの長方形と元の長方形とが相似になるように作ってあるのです。
・・なんだかややっこしいな。
・・縦を１とし、横をＸとする。
・・正方形を作ると、残りの長方形の縦はＸ−１で、横は１。
・・相似だから、１：Ｘ＝Ｘ−１：１
・・方程式にすると、Ｘ（Ｘ−１）＝１
・・つまり、Ｘ×Ｘ−Ｘ＝１
・・解の公式を使って、Ｘ＝（１±√５）／２
・・正の方は、１．６１８０３３９５…

面白いことに、１÷１.６１８０３３９５…＝０．６１８０３３９５…
となる。つまり少数部分はまったく同じなんだ。
・・だって、図で１を引いた残りが０.６１８…だから当然じゃない。

あっ！そうか。なるほど。ところでこの比は、黄金分割といって、昔から美しい比ということが知られている。
・・ほんとに美しいのかな。

さっき、本当に美しいと感じるのか試してみたが、このクラスは多かったね。
この黄金比は１：０.６８（１：１.６８でもよい）なんだが、この比がいろんな所にでてくる。この比は名刺やパルテノン神殿、モンドリアンの絵、その他の様々な絵の中にある。夏休みの研究で、絵の中の黄金分割の例を調べてきた、永井さんという生徒がいたよ。正５角形の同じ頂点を通らない２本の対角線も、互に他を黄金分割する。
・・そんなに沢山使われているのか。

参考文献　　『黄金分割』柳亮著、美術出版社

『三角定規だってだてに作ってない』

　直角二等辺三角形の方は、正方形の半分。もう一つの方は正三角形の半分。従って、６０度と３０度になる事はすぐ解るだろう。
この二つの三角形の高さが、同じである事は案外知られていない。それを計算してみよう。この２つの直角三角形は、正方形の対角線と正三角形の高さが同じになるように作ってある。
・・知らなかった。
・・本当にそうなの。

直角２等辺三角形の高さを１とすると、正三角形の高さは２になるので、斜辺を底辺とする直角三角形の高さは、１となる。
これを発見したのは藤井君という子で、２つの三角定規を並べていて気がついたという。
・・三角定規もちゃんと考えて作ってあるんですね。

どんな物でも、それなりのわけがあって、作られているもんだ。

　『ドラドラエモン』

名付けて、ドラドラエモン。
（ドラエモンの絵を出して黒板に貼る。）
・・ワー、かわいい。
（さらに、半分に縮小した物を貼る。どんどん半分を貼る。）
・・（笑い声）まだあるの？

このことは、前に本の大きさのところでやったけど、半分にしても形は変らない。コピーを使うと、これも簡単にできる。所で半分にするには、縮尺をどれだけにすればいいの？
・・１：√２だから、１÷１.４１４２＝０.７０７１。
・・０.７１倍にすればいいです。

では、この一番大きいドラドラエモンの横の長さを１とすると、次のドラドラエモンの横の長さは√２分の１。さらに次のは？
・・半分だ。

一つおきにとると、
・・１、(１／２)、(１／４)、(１／８)、(１／１６)。
・・半分の半分の半分の・・・

これを全部足した、１＋(１／２)＋(１／４)＋(１／８)＋(１／１６)・・・の答えは？
・・この並べ方を見ると、２だ。

昔から、チリも積れば山となるというけれど、これを無限に足していっても、山にはならずに２となるわけだ。
・・アキレスと亀の話と同じだね。

では、応用。
０.９＋０.０９＋０.００９＋０.０００９＋０.００００９・・・＝いくつになるか
・・０．９９９９９９９・・・

これはどういう数。どんどん増えていくの。ある数になるの。
・・どんどん増える。

どこまでも増えるの。
・・いや、１よりは大きくならない。　０．９９９９９・・・＜１だから。

違うのだ。実は、０．９９９９９９・・・・・＝１なんだ。
・・そんなはずはない。証拠を見せて。　　　

たとえば、５つのりんごを５人でわけると一人何個か。その答は１。しかし、もう一つ答がある。それは、
　　　　　　０．９９９９９９９９９９９９９９…
　　　５　）５
　　　　　　０　　
　　　　　　５　０ 　
　　　　　　４　５ 
　　　　　　　　５０
　　　　　　　　４５ 
　　　　　　　　　５０
だから、１＝０．９９９９９９９９９９・・・
・・おかしいよ。何故、わざわざ９で割るの。１で割切れるじゃない。

りんごにもいろいろあって、青いのや赤いの、酸っぱいのや甘いの、単純には割切れない。こっちの方がいいとか、おいしそうだとか色々文句がでるだろう。つまり、一人に一個というように簡単には分けられない。だから、限りなく０．９９９９９９・・・なのだ。
・・納得できないなあ。

じゃ、証拠の第２弾。０．９９９９９９・・・を１０倍すると？
・・９．９９９９９９・・・です。

９．９９９９９９・・・−０．９９９９９９・・・＝
・・９です。

１０倍して引いたら９になる数は？
・・１０а−а＝９だから、えーとа＝１だ。あれ？
・・ごまかされているよ。

しかたがない。証拠の第３弾。三分の一はいくつ。
・・０．３３３３３３３・・・です。

０．３３３３３３３３・・・×３は
・・０．９９９９９９９・・・です。

３分の１の３倍は。
・・あれ、１だ。０．９９９９･･･は本当に１なんかなあ。

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