長方形を正方形にする

二種類の３分割

「１３３、四角形を分割して正方形にする方法」で、長方形を３分割して正方形にした。
雑誌「数学教育」2013．8月号を見ていたら、板崎真一先生が新しい方法を紹介していた。
とても興味深い教材なので紹介したい。
二つとも一辺がａとｂの長方形である。違いは、＋か－かである。

(１)　ａ＋ｂで分割する方法

ＡＣ＝ａ，ＣＢ＝ｂ，ＦはＡＢの中点。

ターレスの定理により、△ＡＢＩは直角三角形。
ＣＩ＝χとすると、ピタゴラスの定理により
ＡＩ＝√（ａ^２＋χ^２），ＢＩ＝√（ｂ^２＋χ^２）
（ａ＋ｂ）^２＝（ａ^２＋χ^２）＋（ｂ^２＋χ^２）
ａｂ＝χ^２
よって、ＣＩ＝√ａｂ
長方形ＣＢＢ’Ｄを３分割し、ＪをＩにスライドさせると、ＣＫＢ”Ｉは面積ａｂの正方形になる。

(２)　ｂ－ａで分割する方法

ＡＢ＝ｂ，ＡＡ’＝ＥＤ＝ａ，ＦはＡ’Ｄの中点。

ターレスの定理により、△Ａ’ＲＤは直角三角形。
ＦＥ＝ａ－ｂ／２，ＦＲ＝ｂ／２
ピタゴラスの定理により、ＥＲ＝√（ａｂ－ａ^２）
よって、ＤＲ＝√（ａ^２＋（ａｂ－ａ^２））＝√ａｂ
長方形ＡＢＤＡ’を３分割して図のように組み合わせると、ＲＳＱ’Ｄは面積ａｂの正方形になる。

長方形を正方形に分割する方法は、直線で分割すると、２通りでは不可能なので、３通りが最小である。
その分割の仕方はまだあると思うが、(２)の方法は二つの正方形を分割するピタゴラスの定理の長方形への拡張になっている。

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