「割り算」から無限大数へ

１，いろいろな割り算

T：こんな割り算を考えてみました。最初は、0.1を２進法で表す割り算です。

0.1＝1÷10＝1÷1010[2]＝0.0001100110011…[2]　　２進法の計算はわかるね。

　　　　　　　　　　　　0.00011001…　　　　　　1＋1＝10だよ。
　　　　　　　　　 1010)1.0000
　　　　　　　　　 　 　　1010
　　　　　　　　　　　　　 1100
　　　　　　　　　　　　 　1010
　　　　　　　　　　　　　　 10000
　　　　　　　　　　　　
S：0.1は２進法で表すと無限小数になるんだね。
T：この無限小数の考え方を使うとこんな計算もできるよ。

1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+…＝0.1111…[3]　　（[3]これは「３進法で」という意味）
0.2222…[3]＝1だから、0.2222…＝2×0.1111…[3]
よって、1/3+(1/3)²+(1/3)³+…＝0.1111…[3]＝1/2

S：1/4でも同じことがいえるね。1/4+(1/4)²+(1/4)³+…＝1/3　になる。

T：次は１０進法でも無限小数になる割り算です。

1÷9=0.1111…　　 0.111…　　　　9÷9＝0.9999…　 　 0.999…　　　
　　　　　　　　9)1.000　　　　　　　　　　　　　　9)9.0
　　　　　　　 　 　9　　　　　　　　　　 　　　　　 8 1
　　　　　　　　　　10　　　　　　　　　 　　　　　　　90
　　　　　　　　 　　9　　　　　　　　　　　　　　　　 81
　　　　　　　　　　 1　　　　　　　　　　　　　　　　　9

S：左の計算はわかるけど、右の計算は９÷９＝１で割り切れるじゃない。
T：人生はそう簡単には割り切れないのさ。
S：0.9999…＝1ということだね。


２，一桁目から割っていく割り算

T：割り算の筆算は、普通桁の大きい方から行います。これを桁の小さい方から行ったらどうなるのでしょうか。

　　 　 2.5　→　 2.5 　　　　　021 　　　　　056
　　　2)5.0 　　　5.0(2　　　　 147(7　　　　 392(7
　　　　4　　　　 1 0　　　　 　　7　　　　　　42
　　　　1 0　　　 4　　　　　　 14　　　　　　35
　　　　1 0　　　 4　　　　　　 14　　　　　　35
　　　　　0　　　 0　　　　　　 0　　　　　　 0

S：一桁目がそろうようにするというルールで計算すればいいんだな。

T：では、この場合はどうなるかな？

1÷9=0.1111…　　　　 0.111…　　　　…8889
　　　　　　　　　　9)1.000　　　　　　　 1(9
　　　　　　　　　　　　9　　　　　　　　81
　　　　　　　　　　　　10　　　　　…9992　　　(無限から繰り下がって、0-8=…9992　となる。)
　　　　　　　　　　　　 9　　　　　　　72
　　　　　　　　　　 　　1　　　　 …9992
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　72
　　　　　　　　　　 　　　　　
S：この場合はできないね。無限に続いてしまう。
T：ここで想像力を働かせるんだ。さっきの9÷9＝0.999…がいえるのだから、こういう数も認めてしまうとどうなるだろう。
S：ということは、0.111…＝…8889なの？
T：そうですよ。こういう割り算を認めると、今まで知らなかった新しい数が出てくるんだ。実際に…8889×9を計算してみて。
S：本当だ。…0001になるよ。
T：「無限大数」で、…8888＝−8／9だったから、これに１をたすと1／9になるからね。

T：でも問題点があるんだ。１÷８＝0.125はどんな計算になる？

　　A　 .25　　　　　　B　6.375　　　　　　C　8.875　　　　D　0.125
　　 　1.00(8　　　　　　 1.000(8　　　　　　 1.000(8　　　　 1.000(8
　　　　 40　　　　　　　　　40　　　　　　　　　40　　　　　　　40
　　　　 6　　　　　　　　　96　　　　　　　　　96　　　　　　　96
　　　　16　　　　　　　　　56　　　　　　　　　56　　　　　　　16
　　…999　できない！　　　 4　　　　　　　　　 4　　　　　　　 8
　　　　　　　　　　　　　 24　　　　　　　　　64　　　　　　　 8
　　　　　　　　　　　 …998　　　　　　　 …994　　　　　　　　0
　　　　　　　　　　　　　48　　　　　　　　　64　　　　　　　　　できた！
　　　　　　　　　　 …9995　できない！　 …993 できない！

S：８の倍数で一桁目が９や５や３はないからだね。
S：このやり方だと割り算ができるかできないかは、やってみないとわからないわけだ。


３，２桁の数で割る

522÷18をやってみよう。８の段で一桁目が２になるのは４と９だから、

　　　　　4　　　　　　 029
　　　　522(18　　　　　522(18
　　　　 72　　　　　　 162
　　　　55　　　　　　　36　　　　　　
　　できない！　　　　　36　　　　　
　　　　　　　　　　　　0　　　　　

S：２桁でもできますね。


４，割り切れない場合

T：1÷7＝0.1428571428…です。これはどうなるだろうか。

　　　…0000.5 　　　　　　…42857143.
　　　…0001.0(2　 　　　　　　 …001(7
　 　 　　 1 0　　　　　　　　 　　21　
　　　 　　0　　　　　　　　　 …998
　 　 　 　　　　　　　　　　　　 28
　　　 …333.5 　　　　　　　 …997
　 　　　　1.0(6　　　　 　　　　 7
　 　 　　 3 0 　　　　　　　…999
　　　 …998　 　　　　　　　　 49
　 　　　 18　　　　　　　　…995
　　　…998 　　　　　　　　　 35
　 　　　18　　　　　　　　…996
　　 …998 　　　　　　　　　 56
　 　 　　　　　　　　　　…994
　 　 　
S：３と７と９の段は、一の位に０〜９までの全ての数が出てくるから計算できるんだな。
T：２÷７や３÷７もやってみて。面白いことが見つかるかも知れないよ。
S：割り算って案外と面白いかも。
S：割り切れるってどういうことだろう？


５，文字式の割り算　１÷（１−χ）＝？

T：文字式の割り算もできるよ。この割り算をやってみよう。

　　　　　 1+χ+χ²+χ³+…
　　　1-χ)1
　　　　　 1-χ
　　　　　　 χ
　　　　　　 χ-χ²
　　　　　　　　χ²
　　　　　　　　χ²-χ³
　　　　　　　　　　χ³

S：χ＝10を代入すると、 1+χ+χ²+χ³+…＝…1111＝1/(1-χ)＝−1/9　となるよ。

T：次は１÷(１−χ)²　を計算してみよう。
S：１÷(1-2χ+χ²)を計算するということなの？
T：やってみて。

　　　　　　　 1+2x+3x²+4x³+…
　　　 1-2x+x²)1　　　　　
　　　　　　　 1-2x+ x²
　　　　　　　　 2x- x²
　　　　　　　　 2x-4x²+2x³
　　　　　　　　　　3x²-2x³
　　　　　　　　　　3x²-6x³+3x⁴
　　　　　　　　　　　　4x³-3x⁴

S：ということは、χ＝10とすると、1/81＝…7654320987654321　ということなのか。
T：χに７を入れると「7進数」になるよ。


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