植物が黄金角になる理由
植物ホルモンと黄金比
０、植物はなぜ黄金角を知っているのか
もう１４、５年くらい前だろうか。「生き物たちのエレガントな数学」にも書いたが、
植物は黄金角（１３７．５度）で葉を出現させていくことを確かめることができた。
しかし、植物は分度器を持っていない。いったいどうやってこの角度をもとめているのだろうか。
いろいろ探ってみたが、
「植物がどうやって黄金角で葉を出していくのか？」 は、わからなかった。
本には誰か解いてほしいと書いておいたが、先日ネットを見ていたら、
植物ホルモンの分布によって自然に黄金比が出てきて、
だから黄金角になるということが説明してあった。
生きている間に、この問題の解答に出会えるとは思っていなかった。
そのサイトは、大阪大学の近藤滋先生の「生命科学の明日はどっちだ」
【第１４回：全ての植物をフィボナッチの呪いから救い出す】
このサイトに、オーキシン（植物ホルモン）のことが書いてあった。
そして、近藤先生の仮説は
(1) ひとつ前の原基の阻害効果が一定の比率で減衰する（ただし四個以上古いものは無視）
(2) 原基の回転角度は常に一定
(1)は納得。オーキシンの濃度が指数関数になれば、黄金比は自然に出てくる。
ただ、この(2)が気になる。
これは、黄金比を求めるための仮説だ。
でも、二番目の葉原基は１８０度の所に出現するのが自然である。
そこで、いろいろシュミーレーションをしてみた。
私の仮説は
(1)オーキシンの濃度によって、黄金比で葉原基が出現する
(2)そのまま回数を重ねると、自然に黄金角になる
(1)は、指数関数が自然に黄金比になるにはどういう仕組みであればよいか。
回転角度が一定を仮定しなくても黄金比が出てこないか。
さらに、自然に黄金角が出てくるようになるためには・・・
ということで、(2)になることをエクセルで確かめた。
しかし、実際に(2)を証明するには一週間以上かかった。
証明は困難だったが、今日、８月５日に一般項を見つけ出し、極限を求めることができた。
(2)を数学の言葉で表すと、
漸化式
Ｆ0＝１，Ｆ1＝ｐ，Ｆ2＝２（１－ｐ）
Ｆn＝Ｆn-3・ｐ＋Ｆn-2・（１－ｐ）
の一般項を見つけ、その極限が０．７６３９３２０２３・・・
になることを証明するという課題である。
漸化式を求めた時点で、それをどう解くかだけだったが、
特性方程式が虚根になったので戸惑っていたが、
計算してみると、大丈夫だった。
植物の葉原基の出現は、自然に黄金角になることがわかった。
１５年来の問題がやっと解決できた。
さて、順番に説明していこう。
１、葉原基は順番はオーキシンの濃度によって出現する
この原基の形成には植物ホルモン（オーキシン）が一定濃度以上必要。
このオーキシンはすべての原基が生産しているが、古い原基はオーキシンを吸収するので、古い原基を中心にオーキシンの濃度が下がり、濃度勾配ができる。
このオーキシンは、正確に限定された領域である限られた時間だけ転写を起こすしくみを持っている。もちろん空間的にも正確である。
このオーキシン濃度は時間に対して指数関数的に減少する。
例えば、一定時間のオーキシンの効果は１／γに減少すると考えると、次に時間にはその１／γと考えられる。したがって、これを表にすると、
時間：０ １ ２ ３ ４ ・・・
効果：１ １／γ １／γ２ １／γ３ １／γ４ ・・・
となる。
葉原基はオーキシンの濃度が一定でないと出現しないが、それは、重ならないように最も遠い所に出現させるためである。
表のように最初の葉原基Ｐ０からの濃度効果を１とすると、効果は原基の発生の時間に対して指数関数的に減衰する。その減衰率を１／γとする。
ここで、葉原基の出現の場所を円モデルで表す。それは茎頂部が先端であり、成長にしたがって先端が半球の円錐のになるからである。
Ｐ０から次の葉原基Ｐ１は、濃度が丁度同じ点であるので、円の反対側である。Ｐ０のＰ１の点での濃度を１とする。
次の原基Ｐ２はＰ１Ｐ０の１：１／γの位置である。さらに、次のＰ３はＰ０Ｐ１＝１の１／γ２：１／γの位置である。
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※「なぜ１：１／γの位置なのか？」
考えてみると、このことは自明ではない。
したがって、以下の論の仮定が全て間違っていることになる。
再考をしたい。
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このとき、１／γ２＋１／γ＝１なので、γの値が求まる。
γ＝（１＋√５）／２ よって、１／γ＝０．６１８・・・
不思議だが、指数の比になっている時点でγの値が決まる。
以下最も新しい２点を１／γ：１／γ２＝０．６１８：０．３８で新しい原基の発現を定めていく。
古い原基は大きく成長し、この円環よりも遠ざかるので、影響は無くなる。
以下同様にＰ４は、Ｐ２とＰ１を１／γ３：１／γ２に分ける位置になる。
２、円弧の長さの極限は黄金角になる
新しい原基が古い原基とさらに古い原基の比＝０．６１８：０．３８２
の比で出現するとすれば、弧の長さは次の表になる。
弧 ：Ｐ０Ｐ１ Ｐ１Ｐ２ Ｐ２Ｐ３ Ｐ３Ｐ４ Ｐ４Ｐ５
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弧の長さ： １ ０．６１８ ０．７６４ ０．８５４ ０．６７３
１／γ＝ｐとすると、Ｐ３はＰ０とＰ１のｐ：ｐ２＝ｐ：（１－ｐ）の比の点になる。
こうやって求めたＰｎの点から弧の長さＰｎＰｎ＋１を計算してみる。
Ｐ０Ｐ１＝１
Ｐ１Ｐ２＝ｐ
Ｐ２Ｐ３＝（１－ｐ）＋（１－ｐ）＝２（１－ｐ）
Ｐ３Ｐ４＝Ｐ０Ｐ１×ｐ＋Ｐ１Ｐ２×（１－ｐ）＝３ｐ－１
Ｐ４Ｐ５＝Ｐ１Ｐ２×ｐ＋Ｐ２Ｐ３×（１－ｐ）＝５－７ｐ
・・・
ＰｎＰｎ＋１＝の値はどうなるのだろうか？
エクセルでシュミレーションしてみた。
すると、ＰｎＰｎ＋１＝０．７６３９・・・＝２（１－ｐ）に近づいていく。
これは、角度に直すと、１８０×０．７６３９…＝１３７．５０７…となり、黄金角になる。
とすれば、Lim[ｎ→∞]ＰｎＰｎ＋１＝＝２（１－ｐ）になることを証明すればよい。
ＰｎＰｎ－２＝Ｐｎ－３Ｐｎ－２×ｐ ， Ｐｎ－２Ｐｎ＋１＝Ｐｎ－２Ｐｎ－１×（１－ｐ）
ＰｎＰｎ－２＋Ｐｎ－２Ｐｎ＋１＝ＰｎＰｎ＋１
なので
ＰｎＰｎ＋１＝Ｐｎ－３Ｐｎ－２×ｐ＋Ｐｎ－２Ｐｎ－１×（１－ｐ）
ここでＰｎＰｎ＋１＝Fｎとすると、
Fｎ＝Fｎ－３・ｐ＋Fｎ－２・（１－ｐ）
また初期条件は、Ｆ０＝１ Ｆ１＝ｐ Ｆ２＝２（１－ｐ）
試しに次の値を計算してみると、
Ｆ３＝ｐ＋ｐ（１－ｐ）＝ｐ＋ｐ－ｐ２＝２ｐ－（１－ｐ）＝３ｐ－１
Ｆ４＝５－７ｐ
３、漸化式を解いて一般項を求める
Fｎ＋３＝Fｎ・ｐ＋Fｎ＋１・（１－ｐ）
これを変形して
Fｎ＋３－Fｎ＋１＝－ｐ（Fｎ＋１－Ｆｎ）
ここで、（Fｎ＋１－Ｆｎ）＝Ａｎ、 Fｎ＋３－Fｎ＋１＝Ｂｎとおく。
Ｂ０＝－ｐ・Ａ０＝２ｐ－１
Ｂ１＝－ｐ・Ａ１
Ｂ２＝－ｐ・Ａ２
Ａ０＝ｐ－１
Ａ１＝－３ｐ＋２
Ａ２＝Ｂ０－Ａ１＝５ｐ－３
Ａ３＝Ｂ１－Ａ２
・・・
Ａｎ＋２＝－ｐ・Ａｎ－Ａｎ＋１
よって、
Ａｎ＋２＋ｐ・Ａｎ＋Ａｎ＋１＝０
特性方程式をつくると、
χ２＋χ＋ｐ＝０ この解をαとβとすると α＋β＝－１ ， αβ＝ｐ
Ａｎ＋２－αＡｎ＋１＝β（Ａｎ＋１－αＡｎ）
Ａｎ＋２－βＡｎ＋１＝α（Ａｎ＋１－βＡｎ）
ここで、さらに、Ａｎ＋１－αＡｎ＝Ｃｎ、Ａｎ＋１－βＡｎ＝Ｄｎとおく。
Ｃ０＝Ａ１－αＡ０＝－３ｐ＋２－αｐ＋α
Ｃｎ＋１＝βｎ（－３ｐ＋２－αｐ＋α）
同様に
Ｄｎ＋１＝αｎ（－３ｐ＋２－βｐ＋β）
Ａｎ＋１－αＡｎ＝βｎ（－３ｐ＋２－αｐ＋α）
－）Ａｎ＋１－βＡｎ＝αｎ（－３ｐ＋２－βｐ＋β）
―――――――――――――――――――――――――――
（β－α）Ａｎ＝βｎ（－３ｐ＋２－αｐ＋α）－αｎ（－３ｐ＋２－βｐ＋β）
Ａｎ＝（βｎ（－３ｐ＋２－αｐ＋α）－αｎ（－３ｐ＋２－βｐ＋β））／（βーα）
一方
Ａ０＝Ｆ１－Ｆ０
Ａ１＝Ｆ２－Ｆ１
Ａ２＝Ｆ３－Ｆ２
・・・
＋）Ａｎ－１＝Ｆｎ－Ｆｎ－１
――――――――――――――――――
∑Ａｎ＝Ｆｎ－Ｆ０＝Ｆｎ－１
Ｆｎ＝∑Ａｎ＋１
lim[ｎ→∞]Ｆｎ＝∑[ｎ→∞]Ａｎ＋１
∑[ｎ→∞]Ａｎ
＝∑（βｎ（－３ｐ＋２－αｐ＋α）－αｎ（－３ｐ＋２－βｐ＋β））／（β－α）
＝１／（β－α）∑（βｎ（－３ｐ＋２－αｐ＋α））－∑（αｎ（－３ｐ＋２－βｐ＋β））
＝１／（β－α）・（（－３ｐ＋２－αｐ＋α）・１／（１－β）－（－３ｐ＋２－βｐ＋β）・１／（１－α））
（１－β）（１－α）＝１－（α＋β）＋αβ だから、
＝１／（β－α）・（（－３ｐ＋２－αｐ＋α）・（１－α）／（２＋ｐ）－（－３ｐ＋２－βｐ＋β）・（１－β）／（２＋ｐ））
＝１／（（β－α）（２＋ｐ））・（（－３ｐ＋２）（β－α）－（ｐ－１）（α－α２）＋（ｐ－１）（β－β２））
＝１／（（β－α）（２＋ｐ））・（（－３ｐ＋２）（β－α）－（ｐ－１）（２α＋ｐ）＋（ｐ－１）（２β＋ｐ））
＝１／（（β－α）（２＋ｐ））・（（－３ｐ＋２）（β－α）－２（ｐ－１）（α－β））
＝１／（（β－α）（２＋ｐ））・（β－α）（－３ｐ＋２＋２ｐ－２）
＝－ｐ／（２＋ｐ）
lim[ｎ→∞]Ｆｎ＝∑[ｎ→∞]Ａｎ＋１＝１－ｐ／（２＋ｐ）＝２／（２＋ｐ）＝０．７６３９３２０２３・・・
ということで、Ｆｎが＝０．７６３９３２０２３・・・に収束するので、中心角は黄金角になる。
これで、植物は自然に黄金角になることが解明できた。
まさに「フィボナッチの呪い」から解放され、ホッとしている。
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