方程式の対称性
ベキ根をとる意味
このポイントが一番大事であり、ガロア理論の核心です。
私自身もこのことが長いことわかりませんでした。
一番簡単な二次方程式で説明します。
(α−β)2＝α2−2αβ＋β2
＝α2＋2αβ＋β2−４αβ
＝(α＋β)2−４(αβ)
＝ａ2−４ｂ・・・(3)
において、α−βは対称式ではないのに２乗すると対称式になってしまいます。
対称式になったということは係数で表せるということです。
そして、ルート（根号）をとってα−βにすると
α−β＝±√{ａ2−４ｂ}
と、左辺は対称式ではないのに係数で表すことができます。
この場合√をとるという操作はどういう意味を持っているのか。
左辺は元に戻ったのに右辺は係数で表されているのはなぜか。
この違いを群と対比させてガロアは考えたのです。
対称式で係数に置き換えられるということは、根を置き換えても良いということです。
逆に、√をとると根を置き換えると符号が変わってしまいます。
つまり、根の置換における対称性は減ると考えたのです。
ではその対称性はどのように減っているのか。
「それは根の置換群を調べるとわかる」というように考えたのです。
このことは、三次方程式だとより鮮明になります。
Ｔ2−（Ｒ1＋Ｒ2）Ｔ＋Ｒ1・Ｒ2＝０
対称式を作るとこの二次方程式ができるので、解の公式にあてはめると、
Ｔ＝[−(２ａ3＋９ａｂ−２７ｃ)±√{(２ａ3＋９ａｂ−２７ｃ)2−４(ａ2−３ｂ)3}]／２
このとき、√をとっているので、先の二次方程式の様に対称性が減ります。
それを根の置換でみると、
（αβγ）：α＋βω＋γω2＝α＋βω＋γω2＝Ｌ2
（βγα）：β＋γω＋αω2＝αω2＋β＋γω
（γαβ）：γ＋αω＋βω2＝αω＋βω2＋γ （これらが偶置換）
の偶置換では成り立っていますが、奇置換では（Ｒ2−Ｒ1）となって符号が変わり成り立っていない、ということなのです。
そして、三乗根をとると、対称性はなくなりますが根が見つかるのです。
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