S：９は一番最後に現われるから、損だよ。
S：こういう場合、確率は平均値になるのかな。
S：ということは、それぞれの確率は違うということではないの。
３、確率をグラフにすると
T：これをグラフにしてみよう。まず、１と２の場合だけ。
S：桁数が１つあがると、グラフが伸びるよね。０から１０までの間がわかりにくいな。
S：確率は桁が１つ上がると、同じ繰り返しになる。１〜１０〜１００〜１０００〜１００００と相似になっているはず。
T：それなら、χ目盛を対数目盛りにしてみよう。
S：同じ曲線が繰り返すよ。対数目盛りだから、当然か。
S：１の方が２よりも確率が大きいよ。
S：１の方の平均は０．３ぐらいだ。２の方は０．２ぐらいかな。
T：では、この確率を具体的に求めるにはどうしたらいいのだろう。
S：このグラフを見ると対数と関係があるような気がする。
T：そうだね。10のｎ乗がポイントかもしれない。
４、確率を求める
T：どうしたら具体的な確率が求まるのかな。
S：この曲線を積分してやればいいのではないの？
S：でも、この曲線の式はわからないよ。
T：対数ということは、指数で考えたらどう。まず、ある数を指数１０αで表わす。
S：どうして？
T：その方が便利だからね。
例えば１０3.5＝１０0.5+3＝１０0.5・１０3 （１０3が桁数を表わし、１０0.5が数値を表わす。）
この１０0.5の整数部が最高位の数ということになる。
桁数の方は考えに入れなくてもいいので指数の整数部分は無視し、小数部分だけを調べればいい。
もちろん小数部分は０〜１までの数をとり、どれも一様に出現する。
では、指数の値によって整数値はどんな数になるのか。
S：100＝１ 100.3010＝２ 100.4771＝３ 100.6020＝４ 100.6990＝５ 100.7781＝６ 100.8451＝７ 100.9030＝８ 100.9542＝９ 101＝１０
そうか！わかった！この指数の幅から確率を求めることができるぞ！
１になるのは、１０0~0.3010 ０．３０１０−０ ＝０．３０１０
２になるのは、１０0.3010~0.4771 ０．４７７１−０．３０１０＝０．１７６１
３になるのは、１０0.4771~0.6020 ０．６０２０−０．４７７１＝０．１２４９
４になるのは、１０0.6020~0.6990 ＝０．０９７０
５になるのは、１０0.6990~0.7781 ＝０．０７９１
６になるのは、１０0.7781~0.8451 ＝０．０６７０
７になるのは、１０0.8451~0.9030 ＝０．０５７９
８になるのは、１０0.9030~0.9542 ＝０．０５１２
９になるのは、１０0.9542~1 ＝０．０４５８
S：ということは、対数目盛の間の長さが確率と言うことですね。
S：でもね、この場合、１０x＝ｙとすると、ｘの分布とｙの分布は違うよ。この場合はｘの分布をとったけど、ｙのT分布をとると確率は１／９になるよ。指数ｘの分布を確率に選んだ理由はあるの？
T：大事な疑問だね。ここで、ｘの分布とｙの分布を比べてみよう。ｘの分布は下の図の様になる。
Log2 Log3 Log10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
100 100.1 100.2 100.3 100.4 100.5 100.6 100.7 100.8 100.9 101
┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼
1 1.25 1.58 1.99 2.51 ↑3.16 3.98 5.01 6.31 ↑ 7.94 ↑ 10
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １0
S：この図で、ｙの分布は数直線の下で、ｘに合わせると均等(一様)ではなくなる。
T：さて、この二つの分布の違いは何なのか。
ｙの分布を、 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ と一様に並べ、２倍してみよう。
すると、 ２ ４ ６ ８ １０ １２ １４ １６ １８ となり、最高位の桁が１であるのが５倍に増える。
これは、ｙの分布が乗法に対して一様ではない（縮尺不変ではない）ということを示している。
それに対して、ｘの分布を2倍すると、
(指数ｘ) (数) (２倍の数)
0.1 １０0.1(=1.26)×２＝１０0.1×１０0.301＝１０0.1+0.3＝１０0.401＝2.52
0.2 １０0.2(=1.58)×２＝１０0.2×１０0.301＝１０0.2+0.3＝１０0.501＝3.17
0.3 １０0.3(=1.99)×２＝１０0.3×１０0.301＝１０0.3+0.3＝１０0.601＝3.99
0.4 １０0.4(=2.51)×２＝１０0.4×１０0.301＝１０0.4+0.3＝１０0.701＝5.02
0.5 １０0.5(=3.16)×２＝１０0.5×１０0.301＝１０0.5+0.3＝１０0.801＝6.32
0.6 １０0.6(=3.98)×２＝１０0.6×１０0.301＝１０0.6+0.3＝１０0.901＝7.96
0.7 １０0.7(=5.01)×２＝１０0.7×１０0.301＝１０0.7+0.3＝１０1.001＝10.02
0.8 １０0.8(=6.31)×２＝１０0.8×１０0.301＝１０0.8+0.3＝１０1.101＝12.62
0.9 １０0.9(=7.94)×２＝１０0.9×１０0.301＝１０0.9+0.3＝１０1.201＝15.89
となって、２倍する前は３個、２倍しても３個で変わらない。これは、上の数直線を右へ0.3だけずらした時、１の幅は１０の幅に移り、合計の長さは変わらないことからもわかる。このようにｘの分布は乗法に対して一様（縮尺不変）になっている。
また、指数ｘは桁数を表しているから、桁数ｘの方がｙよりも一様になっているということがわかる。
S：でも、なぜ乗法に対して変わらない分布の方が良いの？
T：長さ、重さなどの数の集合は、単位が違っても最高位の桁の分布が同じでないと困る。もし、単位が違うたびに分布も違ってくると、分布の法則はないことになる。指数ｘの分布だと単位が違っても１の分布は同じになるので、指数ｘの分布で確率を考えた方がいいのだ。
よって、この指数を対数の式で表わすと、次のように確率を求めることができる。
最高位の数がｎになる確率P（ｎ）＝(Log10（n+1)-Log10n)／(Log1010-Log101)
＝(Log10（n+1)-Log10n)
＝Log10(（n+1)／n)
＝Log10（1+1/n)
これをベンフォードの法則という。（１９３８年発見）
