算額の解答

神谷さんの問題

　△ＡＢＣがある。ＡＤを２つの内接円が等しくなる様に引くと、ＢＣ＝√（（ａ＋ｂ）＾２−４ｃ＾２）と言える。
　　　（ａ＾２はａの二乗を示している。）

証明

　△ＯＥＤ∽Ｏ’ＦＤだから　　ｒ：ｎ＝ｎ’：ｒ

　∴ｒ＾２＝ｎｎ’・・・（１）

　△ＡＢＤで　ｒ＾２＝ｌｍｎ/（ｌ＋ｍ＋ｎ）・・・（２）

(∵△ＡＢＤの面積は、内心で分割した６つの直角三角形の合計で求めると、
Δ＝ｒ（ｌ＋ｍ＋ｎ）
もう一つ、ヘロンの公式を使って求めると、Δ＝√((ｌ＋ｍ＋ｎ)ｌｍｎ)
∴ｒ（ｌ＋ｍ＋ｎ）＝√(（ｌ＋ｍ＋ｎ）ｌｍｎ）で、ｒ＾２＝ｌｍｎ/（ｌ＋ｍ＋ｎ）となる。)

（１）（２）から　ｌｍ＝（ｌ＋ｍ＋ｎ）ｎ’・・・（３）

また、２△ABD＝（ａ＋ｄ＋ｃ）ｒ、２△ＡＣＤ＝（ｂ＋ｅ＋ｃ）ｒ、（△ABD:△ADC＝ｄ：ｅ）

　∴　(a+d+c)ｒ/ｄ　=　(b+e+c)ｒ/ｅ　=　(a+b+2c+d+e)ｒ/（ｄ+ｅ）

すなわち　（ａ＋ｃ）/ｄ＝（ｂ＋ｃ）/e＝（ａ＋ｂ＋２ｃ）/（ｄ＋ｅ）＝（ａ＋ｂ＋２ｃ）/χ　・・・・・（４）

　　　　∴　ｄ＝（ａ＋ｃ）/（ａ＋ｂ＋２ｃ）・χ　・・・・（５）

そして　ｌ＝（ａ＋ｃ−ｄ）／２　，　ｍ＝（ａ＋ｄ−ｃ）／２　，　ｎ’＝（ｃ＋ｅ−ｂ）／２　これを（３）に代入すると

（ａ＋ｃ−ｄ）（ａ＋ｄ−ｃ）／４＝（ａ＋ｃ＋ｄ）（ｃ＋ｅ−ｂ）／４

また（４）から　ｅ＝（ｂ＋ｃ）／（ａ＋ｃ）・ｄ　　　　　　　　　　[ｅとｄを消去する方針でいきます]

これを上式に代入すると　　（ａ＋ｃ−ｄ）（ａ−ｃ＋ｄ）＝（ｄ＋ａ＋ｃ）（（ｂ＋ｃ）／（ａ＋ｃ）・ｄ＋ｃ−ｂ）

ｄについてまとめると　　（ａ＋ｂ＋２ｃ）ｄ＾２＝（ａ＋ｃ）＾２（ａ＋ｂ−２ｃ）　　　　[ｄの項がみごとに消えてしまいます]

（５）を代入すると　χ＾２／（ａ＋ｂ＋２ｃ）＝ａ＋ｂ−２ｃ

　　　　　　　　　∴　χ＝　√（（ａ＋ｂ）＾２−４ｃ＾２）　　　　　　　　　　　　証明終わり　　//

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△ＯＥＤ∽Ｏ’ＦＤ　になかなか気がつきませんね。

神谷直繩（僧　認澄）　１８２５（文政８）〜１８９４（明治２７）

浅野孝光（宮川孟弼） １８３９（天保１０）〜１９１０（明治４３）

参考文献　　「岐阜県の算額の解説」　著　高木重之より

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