この中にもうひとつ入れられるかな?

箱の中に、ビー玉が縦５列横８列で整然と並んでいます。満員です。しかし、並べ方を変えると、もう一個入るのです。
これは、円で長方形を充填する問題です。ピタゴラスの定理を使って解きます。

Q１　何列にすると、一列分余分に入るか？
Q２　横を４,５,６,７,…とするとどうなるか？

正解は横が５個で、縦が８個の長方形。

Q１　何列にすると、一列分余分に入るか？
計算してみる。
ビー玉の直径を１とすると、８個並べると長さは８。
三角形に並べると、ピタゴラスの定理により、高さは√３／２＝0.8660。
よって、一列付け足せば、1−0.8860＝0.1340づつ余ることになる。
0.1340×7＝0.938
0.1340×8＝1.072
だから、８列で１列分が空くことになり、９列にできる。

Q２　横を４,５,６,７,…列とするとどうなるか？

横をｎ個とする、
直線的に並べた場合は、８ｎ個。
三角形に並べた場合は、５ｎ＋４(ｎ−１)＝９ｎ−４個
８ｎ＝９ｎ−４のとき、ｎ＝４。　　
つまり、４列のときは個数は同じ。
ｙを三角形の場合と直線の場合の個数の差とすると、
ｙ＝９ｎ−４−８ｎ
ｙ＝ｎ−４
つまり、ｎ＝５なら差は１個。ｎ＝６なら差は２個になる。
横を１２、縦を８とすると、８個余分に入ることになる。