人類はどうやって球の体積を求めたのか

１、アルキメデスは球の体積をどうやって見つけたの？

Ｔ：球の体積は半径をｒとすると、４／３･π･ｒ^３で求めることができるんです。覚え方は、『３分で忘れる心配あーるの参上。』『身の上に心配あーるのさんじょう。』
S：「球の体積を求めよ。」なんて入試に出るんですか？
Ｔ：出るよ。だって球って重要な立体なんだよ。身の回りに球はいっぱいあるだろう。
S：ボール、パチンコの玉、ベアリング、太陽、月、地球。
Ｔ：都会で「ガスタンク」って見たことがない。あれは球だろう。どうしてガスタンクが球形にしてあるのかわかる？
S：球は丈夫だから。ガスは安全性が大事。
S：たくさん入るからじゃない。少ない材料で体積が一番大きくなる形だから。
S：でも球は不安定だよ。すぐにころがる。
S：ところで、覚えるのは簡単だけど、この体積の求め方はどうやって見つけたんですか？
S：誰が考え出したんですか？
Ｔ：それはアルキメデス（前287〜前212）という人です。今から２２００年ぐらい前の古代ギリシャ人。
S：そんな昔に、アルキメデスは、球の体積の求め方をどうやって見つけたのですか。
Ｔ：そういえば、微分積分法もない時代にどうやって求めたんだろうね。不思議だね。よし、みんなでアルキメデスになったつもりになって調べてみよう。

２、球の体積を求めるには？

Ｔ：球というと、まず思い浮かぶのが月や太陽。古代の人々にとって球は、完全で理想的な形だと思われていた。だから神のようなものでもあった。でも、自分たちの近くにも球はある。丸い石とか、真珠とか・・・。
S：ぼくは幼稚園の時、泥だんごを作ったことがあるな。
Ｔ：だから、正方形や長方形の体積を求めることができるようになった人類にとって、球の体積を求めることは、とても重要な課題だったと思うよ。
S：そういえば、アルキメデスは王冠の体積と重さを測って偽物か本物か見つけた人だよね。
S：アルキメデスの浮力の原理というのがあったよ。
S：アルキメデスより前の人たちは、球の体積をどうやって出したらいいのかわからなかったんだね。
Ｔ：球の体積をはじめて理論的に求めた人が、アルキメデス。
シチリア島がローマに侵略されたときには、彼の製作したてこの原理を使ったいくつかの機械装置がシラクサの防衛につかわれた。なかでも、太陽の光線を敵の船に集中・発火させたとつたえられる反射鏡が知られている。第2次ポエニ戦争によるシラクサ陥落の際、アルキメデスは砂の上に数学の解法を書いていたところ、ローマ兵に殺された。熱中していたアルキメデスは兵士に研究のじゃまをしないでほしいといっただけであった。
そのアルキメデスの墓は今はない。しかし、その墓には何が描かれていたのかわかっている。

３、アルキメデスの墓

４、球と円柱と円錐の不思議な関係！

Ｔ：ここに出した３つの立体の間に面白い関係があることに、アルキメデスは気がついた。さて、その関係とは何だと思う？
S：一番体積が大きいのは円柱。一番小さいのは円錐ということはわかるな。
Ｔ：この円錐に水が入っているとして、円柱に入れたら何杯入る？
S：３杯入ります。円錐は円柱の３分の１だったよな。
Ｔ：では、この半球には何杯入るかな？
S：１．５杯。
S：２杯。
Ｔ：１．５杯か、２杯か、それとも・・・。確かめるにはどうしたらいい？
S：実際に水を入れてみたら。
Ｔ：そうしたいんだけど、これは紙でできているからだめなんだ。でも、もし２杯ならどういうことが言えるかな。
S：それぞれ、３杯と２杯でいっぱいになるんだから・・・　　円柱＝円錐＋半球　　だ！
S：そういえば、何となくそんな感じもするな。
Ｔ：では、どうやって確かめたらいい？
S：実験すればいいよ。
Ｔ：実はアルキメデスもそう考えた。実際にこの３つの立体を作って、重さを計った。そして、円柱の重さ＝円錐の重さ＋半球の重さという関係があるのでないかと予想した後、それを証明した。
S：そんなこと、証明できるんですか？
Ｔ：それができるんですよ。それはね、これらの立体を薄くスライスしていったんですよ。そして、薄くスライスしたものの面積を比べてみた。
S：スライスハムにしたの？

５、円柱と円錐と半球

Ｔ：左から半径がｒの円柱、円錐、半球。上からｈのところで、水平に切る。
　そうすると、それぞれの切り口は円になる。その円の面積はどうなるか。
S：円柱は、半径×半径×π＝πｒ²。次の円錐は、切り口の半径は・・・ｈだ。すると、ｈ×ｈ×π＝πｈ²。半球の切り口は、半径がわからない。でも、ピタゴラスの定理を使って、半径を求めると、√（ｒ²−ｈ²）。ということは、面積は、π（ｒ²−ｈ²）＝πｒ²−πｈ²となる。
S：あれ？三角錐の面積と半球の面積を足すと、πｈ²＋（πｒ²−πｈ^2）＝πr²となる。
S：三角錐の面積＋半球の面積＝円柱の面積だ。
Ｔ：ということは、どういうこと？
S：どこで切っても、面積は、円柱＝円錐＋半球だから・・・体積も・・・
S：スライスされたものが同じだから、それを集めた体積も同じということだな。
S：つまり、円柱の体積＝円錐の体積＋球の体積ということか。
S：これが、アルキメデスの証明なの？
Ｔ：それはわからない。でも、アルキメデスだったらきっとみんなが考えたように、こうやって考えただろう。
S：２２００年前によくこんなことが思いついたね。
S：この３つの立体の関係はわかったけど、球の体積はどうやって求めるの？
Ｔ：円柱の体積は？
S：底面積×高さだから、高さはｒだね。πｒ²×ｒ＝πｒ³。
S：円錐の体積は、円柱の３分の１だったから、（πｒ³）／３。
S：すると、半球の体積＝円柱−円錐＝πｒ³−（πｒ³）／３＝２（πｒ³）／３。
Ｔ：半球を球にするには、２倍して、４（πｒ³）／３。
S：あれ？疑問が出てきた。円錐はどうして円柱の３分の１なの？
S：水を入れたら、３倍で円柱のマスにいっぱいになったよ。
S：でもさ、本当にぴったりと３分の１なの？アルキメデスがやったように、実験した後、それが本当に正しいのか証明しなければ。
Ｔ：君は現代のアルキメデスだね。まったくその通り。
　 では、円錐の体積が円柱の３分の１になるのはなぜか、考えてみよう。

６、円錐の体積はどうして円柱の三分の一になるの?

T：そのために、さっきの横にスライスするという考え方をもっと深めてみよう。まず、この図を見て。この２つの三角形の面積はどうなっていますか？
S：底辺が同じで高さが同じだから、面積は同じですよ。
Ｔ：これを同じ高さでスライスすると、線の長さは同じなんだよね。だから、長さが同じだから面積も同じと考えられるだろう。これは、薄い線を重ねた三角形を横にずらしていっても面積は変わらないと言えるだろ。
S：それで、底辺と高さが同じなら面積も変わらないのか。
Ｔ：さて、この考えを円錐に応用してみよう。
S：円錐を斜めにしても、体積は変わらないということですか。
Ｔ：そうです。これを見て。円錐をスライスすると、斜めになっても体積は変わらない。さらに、三角錐でも、これを使えば、底面の面積と高さが同じだったら、体積は同じになるといえるだろ。
S：面積の時と同じように考えればいいんだね。
Ｔ：そこで、さっきの円錐を底面積（πｒ²）と高さ（ｒ）が同じ三角錐（底面は直角二等辺三角形）に変える。
S：それでも体積は変わらないの？
S：横に薄くスライスすると、同じ高さなら、面積は同じだ。だから体積も同じだよ。
S：底面が同じ面積で高さが同じだったら、円錐であろうが角錐であろうが体積は同じじゃない。
S：さっきの考え方を使えば、円錐も角錐も、スライスした面積は上に行くにしたがって同じように減っていくから、高さが同じならスライスした面積は同じ。だからそれを合わせた体積も同じだ。
S：やろうとしていることがやっとわかった。この三角錐をこんどは三角柱と比べるんでしょう。
T：そうです。ここに三角柱（底面は直角二等辺三角形）がある。この三角柱を左（１）のように切断する。すると、三角錐が３つできる。最初に上(3)と下(2)の２つの三角錐を比べてみよう。
S：この二つの三角錐は全く合同だから、体積は同じ。
S：もう一つのは合同じゃないよ。
S：でも、(3)(4)図の側面を底面とすると、底面積と高さが同じだから、この２つ(3)と(4)の体積は同じ。
Ｔ：ということは？
S：３つとも体積は同じだ。
S：つまり、三角柱の体積は三等分されている。
S：三角柱の体積の３分の１＝三角錐の体積といえる。
S：そして、この三角柱の体積は円柱の体積と同じだから、円柱の３分の１ということか。
Ｔ：まとめると、円錐＝三角錐＝三角柱÷３＝円柱÷３。（ただし底面積と高さが同じ）
S：なるほど、どんな柱だって、体積を変えないで、底面が正方形の柱にできる。そして、正四角柱は半分の直角二等辺三角柱にできる。直角二等辺三角柱は３等分すると、同じ底面の錐にできる。だから、錐は柱の体積の３分の１になるのか。
S：円柱も正四角柱にできるんですか？
Ｔ：こうやって切るとできますよ。

７、球の表面積

Ｔ：ところで、球の体積がわかると、球の表面積もわかる。
S：球は曲がっているのに、表面積が求まるんですか。
Ｔ：夏になるとスイカを食べるだろ。あのスイカを食べやすくするために切るね。そのスイカをどんどん小さくしていく。すると、高さがｒの三角錐ができる。この三角錐の底面の合計は？
S：球の表面積と同じ。
Ｔ：そうすると、高さはｒで同じだから、三角錐の体積＝底面積×高さ×（１／３）だから、それの合計は球の体積になる。つまり、球の面積×高さ×（１／３）＝球の面積×ｒ×（１／３）＝４（πｒ³）／３
S：だから、球の表面積＝（４（πｒ³）／３）÷（ｒ×（１／３））＝４πｒ²。
S：球の表面積は半分に切った円の面積の４倍なの？本当にぴったり四倍になるの？
Ｔ：ぴったり４倍なんだ。不思議だね。しかも、それだけじゃないよ。さっきのアルキメデスの墓の円柱の側面積はどれだけ？
S：高さが２ｒで、円周が２πｒだから、あれ！４πｒ²だ。
S：球の表面積と同じだよ。

８、円錐台の体積とシンプソンの公式のページへ

参考文献　「ピタゴラスから電子計算機まで」板倉聖宜編、国土社。

目次にもどる