円周の外接正多角形と内接正多角形について
ジオジェブラで実験する
名古屋の林邦英さんから手紙が届き、面白いことを教えていただきました。
「アルキメデスさんは
内接正多角形の周と外接正多角形の周の長さを使って円周の長さを求める方法を示しました。
正９６角形の周の長さを使い、
3・10/71≒3.1408…＜π＜3・1/7≒3.1428…
を求めました。 ⇒【円周の求め方】
内接・外接の各辺の半分と円弧の長さを調べました。
内接―円弧―外接の間の長さを調べると、
約１：２であることがわかります。」
確かめてみましょう。アルキメデスの例で言うと、
3.1415-3.1408=0.0007：3.1428-3.1415=0.0013
言えそうです。林さんは「円周率に関する簡単な実験」と言っています。
面白そうなので私もジオジェブラで実験をすることにしてみました。
まず図を作ってみました。この時、点Ｃを動かして角度を小さくすることができます。
さらに、Ｂも動かして半径を変えることができます。この図は拡大できます。
そして、この間の長さを求めて比を出します。ＣをＢに近づけると、確かにこの比が１：２に近づいていきます。
なぜでしょうか。
最初、式を使って証明しようと試みましたが、うまくいきません。
そこで、グラフに表してみました。（↓下図）
点線の円の半径を１として三角関数を用いて表すと（右図）、この比がとても簡単になります。
間の比は、x-sinx：tanx-x＝(x-sinx)/(tanx-x) となります。
グラフでは、Ｂを０に近づけるとｙ＝２に近づいてきます。
ｘ＝０で ｙ＝２と見えます。
このようなことにどうやって気がつくのでしょうか。
なお、この図から
０＜sinx＜x＜tanx から １＞sinx/x＞cosx （∵sinx＝tanx・cosx＞x・cosx）
１＞sinx/x＞cosxから、lim[x→0]（sinx/x）＝1 ということがわかります。
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この後、林さんと手紙を交わしました。
林さんは、「１：２になるということから、三角関数を級数展開するという発想が出てきた」と主張されていました。
確かに、ここには三角関数の級数展開の芽が含まれています。
その級数展開を使うと、なぜ１：２になるのかがわかります。
sinχ＝χ−χ3／３！＋χ5／５！−χ7／７！＋・・・ 【sinχの級数展開のし方】
tanχ＝χ＋χ3／３＋２χ5／１５＋１７χ7／３１５＋・・・
(x-sinx)/(tanx-x)を求めると、
(tanχ−χ) ＝ χ3／３＋２χ5／１５＋１７χ7／３１５＋・・・
――――― ――――――――――――――――――
(χ−sinχ) ＝ χ3／３！−χ5／５！＋χ7／７！−・・・
χ3 で約分すると、
(tanχ−χ)／(χ−sinχ)＝（１／３＋２χ2／１５＋１７χ4／３１５＋・・・）／（１／３！−χ2／５！＋χ4／７！−・・・）
lim[x→0](tanχ−χ)／(χ−sinχ)＝（１／３）×（３・２／１）＝２
とてもすっきりしました。
このことは、「χ→０ならＧＫ（円弧）がsinxとtanxの間の１：２の所にある」ということを示しています。
つまり、(２sinx＋tanx)÷３≒円弧ということです。
ところが、林さんはこれで終わりません。
このsinとtanの関係をさらに追求するのです。
それは、sinx=Ｓ、tanx=Ｔとおいて、(Ｓ＋Ｔ）÷２や（３Ｓ＋Ｔ）÷４の値を調べることでした。
上記の（２Ｓ＋Ｔ）÷３が、だんだん円弧に近づいてゆくのなら、半分の(Ｓ＋Ｔ）÷２はどうなるのだろう。
（３Ｓ＋Ｔ）÷４はどうなるのだろうかと。この類推は誰も思いつかない発想です。
結論だけを書くと、
χを０に近づけると、(Ｓ＋Ｔ）÷２⇒２tan(x/2)。 そして、（３Ｓ＋Ｔ）÷４⇒２sin(x/2) となる。
林さんはこのことを１０桁の小数を見て気づいたのですが、（αを1.5，1，0.5 にして、数値を比べてみましょう）
ここでは図で表してみます。
数値を見ると微妙な違いですが、グラフを拡大してみると確かに違います。
これはとても面白い！
なぜこのような現象が起こるのでしょうか。とても不思議です。
そこで、林さんの手紙を解読するために、半角の三角関数についての図を作成してみました。
まず、元の角度での差ＣＬと半角になった場合の差ＤＯの比を調べます。
これは級数を使うと、１：８ときれいに出ます。（左上の式）
林さんによると、証明のポイントは、χ→０の時、Ｃ'Ｈ＝２Ｄ'Ｋ と Ｂ'Ｃ'：Ｃ'Ｃ＝１：２ であることを利用すること。
これまたすっきりしました。
（３Ｓ＋Ｔ）÷４⇒２sin(x/2) の方も同様に証明できます。
円周率にもまだまだ不思議なことが隠されているのですね。
そういえば、アルキメデスの方法だと円周率はなかなか近づきませんが、この（２Ｓ＋Ｔ）÷３を使うとぐっと近づきます。
⇒【円周率の求め方】
なお、図を印刷したい場合は、右上の三本線のアイコンをクリックすると印刷プレビューが出ます。
【アルキメデスの積尽法】
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